const In : set set prop term iIn = In infix iIn 2000 2000 const SNo : set prop const SNoLt : set set prop term < = SNoLt infix < 2020 2020 term SNoCutP = \x:set.\y:set.(!z:set.z iIn x -> SNo z) & (!z:set.z iIn y -> SNo z) & !z:set.z iIn x -> !w:set.w iIn y -> z < w term Subq = \x:set.\y:set.!z:set.z iIn x -> z iIn y term TransSet = \x:set.!y:set.y iIn x -> Subq y x const SNoLev : set set const SNoS_ : set set axiom SNoS_I2: !x:set.!y:set.SNo x -> SNo y -> SNoLev x iIn SNoLev y -> x iIn SNoS_ (SNoLev y) const SNoR : set set axiom SNoR_E: !x:set.SNo x -> !y:set.y iIn SNoR x -> !P:prop.(SNo y -> SNoLev y iIn SNoLev x -> x < y -> P) -> P const add_SNo : set set set term + = add_SNo infix + 2281 2280 const SNoL : set set const binunion : set set set const Repl : set (set set) set lemma !x:set.!y:set.(!z:set.!w:set.SNo (z + w) & (!u:set.u iIn SNoL z -> (u + w) < z + w) & (!u:set.u iIn SNoR z -> (z + w) < u + w) & (!u:set.u iIn SNoL w -> (z + u) < z + w) & (!u:set.u iIn SNoR w -> (z + w) < z + u) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \u:set.u + w) (Repl (SNoL w) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \u:set.u + w) (Repl (SNoR w) (add_SNo z))) -> !P:prop.(SNo (z + w) -> (!u:set.u iIn SNoL z -> (u + w) < z + w) -> (!u:set.u iIn SNoR z -> (z + w) < u + w) -> (!u:set.u iIn SNoL w -> (z + u) < z + w) -> (!u:set.u iIn SNoR w -> (z + w) < z + u) -> P) -> P) -> SNo x -> SNo y -> (!z:set.z iIn SNoS_ (SNoLev x) -> SNo (z + y) & (!w:set.w iIn SNoL z -> (w + y) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR z -> (z + y) < w + y) & (!w:set.w iIn SNoL y -> (z + w) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR y -> (z + y) < z + w) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \w:set.w + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \w:set.w + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo z)))) -> (!z:set.z iIn SNoS_ (SNoLev y) -> SNo (x + z) & (!w:set.w iIn SNoL x -> (w + z) < x + z) & (!w:set.w iIn SNoR x -> (x + z) < w + z) & (!w:set.w iIn SNoL z -> (x + w) < x + z) & (!w:set.w iIn SNoR z -> (x + z) < x + w) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL x) \w:set.w + z) (Repl (SNoL z) (add_SNo x))) (binunion (Repl (SNoR x) \w:set.w + z) (Repl (SNoR z) (add_SNo x)))) -> (!z:set.z iIn SNoS_ (SNoLev x) -> !w:set.w iIn SNoS_ (SNoLev y) -> SNo (z + w) & (!u:set.u iIn SNoL z -> (u + w) < z + w) & (!u:set.u iIn SNoR z -> (z + w) < u + w) & (!u:set.u iIn SNoL w -> (z + u) < z + w) & (!u:set.u iIn SNoR w -> (z + w) < z + u) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \u:set.u + w) (Repl (SNoL w) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \u:set.u + w) (Repl (SNoR w) (add_SNo z)))) -> TransSet (SNoLev x) -> TransSet (SNoLev y) -> (!z:set.z iIn SNoL x -> SNo (z + y) & (!w:set.w iIn SNoL z -> (w + y) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR z -> (z + y) < w + y) & (!w:set.w iIn SNoL y -> (z + w) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR y -> (z + y) < z + w) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \w:set.w + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \w:set.w + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo z)))) -> (!z:set.z iIn SNoR x -> SNo (z + y) & (!w:set.w iIn SNoL z -> (w + y) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR z -> (z + y) < w + y) & (!w:set.w iIn SNoL y -> (z + w) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR y -> (z + y) < z + w) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \w:set.w + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \w:set.w + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo z)))) -> SNo (x + y) & (!z:set.z iIn SNoL x -> (z + y) < x + y) & (!z:set.z iIn SNoR x -> (x + y) < z + y) & (!z:set.z iIn SNoL y -> (x + z) < x + y) & (!z:set.z iIn SNoR y -> (x + y) < x + z) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL x) \z:set.z + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo x))) (binunion (Repl (SNoR x) \z:set.z + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo x))) lemma !x:set.!y:set.!z:set.SNo x -> (!w:set.w iIn SNoS_ (SNoLev x) -> SNo (w + y) & (!u:set.u iIn SNoL w -> (u + y) < w + y) & (!u:set.u iIn SNoR w -> (w + y) < u + y) & (!u:set.u iIn SNoL y -> (w + u) < w + y) & (!u:set.u iIn SNoR y -> (w + y) < w + u) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL w) \u:set.u + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo w))) (binunion (Repl (SNoR w) \u:set.u + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo w)))) -> SNo z -> SNoLev z iIn SNoLev x -> z iIn SNoS_ (SNoLev x) -> SNo (z + y) & (!w:set.w iIn SNoL z -> (w + y) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR z -> (z + y) < w + y) & (!w:set.w iIn SNoL y -> (z + w) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR y -> (z + y) < z + w) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \w:set.w + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \w:set.w + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo z))) var x:set var y:set hyp !z:set.!w:set.SNo (z + w) & (!u:set.u iIn SNoL z -> (u + w) < z + w) & (!u:set.u iIn SNoR z -> (z + w) < u + w) & (!u:set.u iIn SNoL w -> (z + u) < z + w) & (!u:set.u iIn SNoR w -> (z + w) < z + u) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \u:set.u + w) (Repl (SNoL w) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \u:set.u + w) (Repl (SNoR w) (add_SNo z))) -> !P:prop.(SNo (z + w) -> (!u:set.u iIn SNoL z -> (u + w) < z + w) -> (!u:set.u iIn SNoR z -> (z + w) < u + w) -> (!u:set.u iIn SNoL w -> (z + u) < z + w) -> (!u:set.u iIn SNoR w -> (z + w) < z + u) -> P) -> P hyp SNo x hyp SNo y hyp !z:set.z iIn SNoS_ (SNoLev x) -> SNo (z + y) & (!w:set.w iIn SNoL z -> (w + y) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR z -> (z + y) < w + y) & (!w:set.w iIn SNoL y -> (z + w) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR y -> (z + y) < z + w) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \w:set.w + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \w:set.w + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo z))) hyp !z:set.z iIn SNoS_ (SNoLev y) -> SNo (x + z) & (!w:set.w iIn SNoL x -> (w + z) < x + z) & (!w:set.w iIn SNoR x -> (x + z) < w + z) & (!w:set.w iIn SNoL z -> (x + w) < x + z) & (!w:set.w iIn SNoR z -> (x + z) < x + w) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL x) \w:set.w + z) (Repl (SNoL z) (add_SNo x))) (binunion (Repl (SNoR x) \w:set.w + z) (Repl (SNoR z) (add_SNo x))) hyp !z:set.z iIn SNoS_ (SNoLev x) -> !w:set.w iIn SNoS_ (SNoLev y) -> SNo (z + w) & (!u:set.u iIn SNoL z -> (u + w) < z + w) & (!u:set.u iIn SNoR z -> (z + w) < u + w) & (!u:set.u iIn SNoL w -> (z + u) < z + w) & (!u:set.u iIn SNoR w -> (z + w) < z + u) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \u:set.u + w) (Repl (SNoL w) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \u:set.u + w) (Repl (SNoR w) (add_SNo z))) hyp TransSet (SNoLev x) hyp TransSet (SNoLev y) claim (!z:set.z iIn SNoL x -> SNo (z + y) & (!w:set.w iIn SNoL z -> (w + y) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR z -> (z + y) < w + y) & (!w:set.w iIn SNoL y -> (z + w) < z + y) & (!w:set.w iIn SNoR y -> (z + y) < z + w) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL z) \w:set.w + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo z))) (binunion (Repl (SNoR z) \w:set.w + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo z)))) -> SNo (x + y) & (!z:set.z iIn SNoL x -> (z + y) < x + y) & (!z:set.z iIn SNoR x -> (x + y) < z + y) & (!z:set.z iIn SNoL y -> (x + z) < x + y) & (!z:set.z iIn SNoR y -> (x + y) < x + z) & SNoCutP (binunion (Repl (SNoL x) \z:set.z + y) (Repl (SNoL y) (add_SNo x))) (binunion (Repl (SNoR x) \z:set.z + y) (Repl (SNoR y) (add_SNo x)))