reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set,
  a,b,c,d,e,f,g for Function of Y,BOOLEAN;

theorem
  for a1,b1,c1,a2,b2,c2 being Function of Y,BOOLEAN holds (a1
  'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&'
'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) '<' (a2 'imp' a1)
  '&' (b2 'imp' b1) '&' (c2 'imp' c1)
proof
  let a1,b1,c1,a2,b2,c2 be Function of Y,BOOLEAN;
A1: ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((
  b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2)
  '&' 'not'( a2 '&' c2)) =I_el(Y) by Lm9;
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((
  a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( c2 '&' a2)
  '&' 'not'( c2 '&' b2)) =I_el(Y) & ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1
'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2)
  '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1
  'or' c1) '&' 'not'( b2 '&' a2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) =I_el(Y) by Lm7,Lm8;
  then
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((
  a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( c2 '&' a2)
  '&' 'not'( c2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1
  'or' c1) '&' 'not'( b2 '&' a2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) =I_el(Y) by th18;
  then
A2: ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((
  a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( c2 '&' a2)
  '&' 'not'( c2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1
'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (
  c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&'
  c2)) =I_el(Y) by A1,th18;
A3: (a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2
  '&' b2) '&' 'not'( b2 '&' c2) 'imp' (b2 'imp' b1) = I_el(Y)
    by Th23,BVFUNC_1:16;
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( c2
  '&' a2) '&' 'not'( c2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1
'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2
  ) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'(
a2 '&' c2)) 'imp' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&'
  'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) =I_el(Y)
    by Lm2,BVFUNC_1:16;
  then
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((
  a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2)
  '&' 'not'( b2 '&' c2)) =I_el(Y) by A2,BVFUNC_5:9;
  then
A4: (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) 'imp' (b2
  'imp' b1) = I_el(Y) by A3,BVFUNC_5:9;
  (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2
  '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) 'imp' (a2 'imp' a1) = I_el(Y)
     by Th23,BVFUNC_1:16;
  then (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not' (b2 '&' c2) 'imp' (a2
  'imp' a1) = I_el(Y) by A1,BVFUNC_5:9;
  then
A5: ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' (
  a2 'imp' a1) '&' (b2 'imp' b1) = I_el(Y) by A4,th18;
  (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' c1 'or' b1) '&' 'not'( c2
  '&' a2) '&' 'not'( c2 '&' b2) '<' (c2 'imp' c1) by Th23;
  then (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( c2
  '&' a2) '&' 'not'( c2 '&' b2) '<' (c2 'imp' c1) by BVFUNC_1:8;
  then
A6: (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( c2
  '&' a2) '&' 'not'( c2 '&' b2) 'imp' (c2 'imp' c1) = I_el(Y) by BVFUNC_1:16;
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( c2
  '&' a2) '&' 'not'( c2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1
'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2
  ) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'(
a2 '&' c2)) 'imp' ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&'
  'not'( c2 '&' a2) '&' 'not'( c2 '&' b2)) =I_el(Y) by Lm2,BVFUNC_1:16;
  then
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((
  a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (a1 'or' b1 'or' c1) '&' 'not'( c2 '&' a2)
  '&' 'not'( c2 '&' b2)) =I_el(Y) by A2,BVFUNC_5:9;
  then (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) 'imp' (c2
  'imp' c1) = I_el(Y) by A6,BVFUNC_5:9;
  then
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' (a1 'or' b1 'or'
c1) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' (
  a2 'imp' a1) '&' (b2 'imp' b1) '&' (c2 'imp' c1) = I_el(Y) by A5,th18;
  hence thesis by BVFUNC_1:16;
end;
