reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set,
  a,b,c,d,e,f,g for Function of Y,BOOLEAN;

theorem
  for a1,b1,c1,a2,b2,c2 being Function of Y,BOOLEAN holds (a1
'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'(
  a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) '<' 'not'( a1 '&' b1) '&' 'not'( a1 '&' c1)
  '&' 'not'( b1 '&' c1)
proof
  let a1,b1,c1,a2,b2,c2 be Function of Y,BOOLEAN;
A1: ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2
  '&' b2)) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) =I_el(Y)
  by Th38;
A2: ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) 'imp' 'not'( a1
  '&' c1)=I_el(Y) by Th25;
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) 'imp' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp'
  c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) =I_el(Y) by Th38;
  then ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2
  '&' c2)) =I_el(Y) by A1,BVFUNC_5:9;
  then
A3: ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
  c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' 'not'( a1 '&' c1)=I_el(Y) by A2,BVFUNC_5:9;
A4: ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) 'imp' 'not'( a1
  '&' b1)=I_el(Y) by Th25;
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( b2
  '&' c2)) =I_el(Y) & ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2))
  'imp' 'not'( b1 '&' c1)=I_el(Y) by Th25,Th38;
  then
A5: ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
  c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' 'not'( b1 '&' c1)=I_el(Y) by BVFUNC_5:9;
  ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) 'imp' ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp'
  b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) =I_el(Y) by Th38;
  then ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2
  '&' b2)) =I_el(Y) by A1,BVFUNC_5:9;
  then ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
  c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' 'not'(a1 '&' b1)=I_el(Y) by A4,BVFUNC_5:9;
  then ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'(a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' 'not'( a1 '&' b1) '&' 'not'( a1 '&' c1) =I_el(
  Y) by A3,th18;
  then
A6: ((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1 'imp'
  a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp'
  c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) 'imp' 'not'( a1 '&' b1) '&' 'not'( a1 '&' c1) '&'
  'not'( b1 '&' c1) =I_el(Y) by A5,th18;
  (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' b2)
  '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) =(a1 'imp' a2) '&' (a1 'imp' a2)
  '&' ((b1 'imp' b2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' b2)
  '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)
    .=(((a1 'imp' a2) '&' (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' (b1 'imp' b2)
'&' ((c1 'imp' c2) '&' (c1 'imp' c2))) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&'
  c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=((((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' (a1 'imp' a2)) '&' (b1 'imp'
b2) '&' ((c1 'imp' c2) '&' (c1 'imp' c2))) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2
  '&' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=(((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' (a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)
'&' (c1 'imp' c2) '&' (c1 'imp' c2)) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&' c2
  ) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=(((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' (a1 'imp' a2) '&' ((b1 'imp' b2
) '&' (c1 'imp' c2)) '&' (c1 'imp' c2)) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&'
  c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=(((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2
)) '&' (a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2)) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&'
  c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2)
) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2)) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' 'not'( a2 '&'
  c2) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2)
) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2)) '&' 'not'( a2 '&' c2) '&' 'not'( a2 '&'
  b2) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2)
) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' 'not'( a2 '&'
  b2) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1 'imp' c2)
) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not' (a2 '&'
  c2)) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2)) '&' 'not'( a2 '&' b2) '&' ((b1 'imp'
  b2) '&' (c1 'imp' c2)) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&'
  c2)) '&' 'not'( b2 '&' c2) by BVFUNC_1:4
    .=((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((b1 'imp'
  b2) '&' (c1 'imp' c2)) '&' 'not'( b2 '&' c2) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp'
  c2) '&' 'not' (a2 '&' c2)) by BVFUNC_1:4
    .=((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((b1 'imp'
  b2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2)) '&' ((a1 'imp' a2) '&' (c1 'imp'
  c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) by BVFUNC_1:4
    .=(((a1 'imp' a2) '&' (b1 'imp' b2) '&' 'not'( a2 '&' b2)) '&' ((a1
  'imp' a2) '&' (c1 'imp' c2) '&' 'not'( a2 '&' c2)) '&' ((b1 'imp' b2) '&' (c1
  'imp' c2) '&' 'not'( b2 '&' c2))) by BVFUNC_1:4;
  hence thesis by A6,BVFUNC_1:16;
end;
