reserve A for non empty set;
reserve a,b,c,x,y,z for Element of A;
reserve o,o9 for Element of LinPreorders A;
reserve o99 for Element of LinOrders A;

theorem
  for o,o9 being Element of LinOrders A holds
  (a <_o, b iff a <_o9, b) & (b <_o, a iff b <_o9, a) iff
  (a <_o, b iff a <_o9, b)
proof
  let o,o9 be Element of LinOrders A;
  thus (a <_o, b iff a <_o9, b) & (b <_o, a iff b <_o9, a) implies
  (a <_o, b iff a <_o9, b);
  assume
A1: a <_o, b iff a <_o9, b;
  hence a <_o, b iff a <_o9, b;
  hereby
    assume
A2: b <_o, a;
then  a <> b by Th4;
    hence b <_o9, a by A1,A2,Th4,Th6;
  end;
  assume
A3: b <_o9, a;
then  a <> b by Th4;
  hence thesis by A1,A3,Th4,Th6;
end;
