reserve a,b,c,d for Real;
reserve z,z1,z2 for Complex;

theorem Th15:
  Re z1 = 0 & Re z2 = 0 implies Re(z1*z2) = - Im z1 * Im z2 & Im(z1*z2) = 0
proof
  assume that
A1: Re z1 = 0 and
A2: Re z2 = 0;
  thus Re(z1*z2) = Re z1 * Re z2 - Im z1 * Im z2 by Th9
    .= - Im z1 * Im z2 by A1;
  thus Im(z1*z2) = Re z1 * Im z2 + Re z2 * Im z1 by Th9
    .= 0 by A1,A2;
end;
