reserve z1,z2,z3,z4,z for Quaternion;

theorem Th17:
  |.z1*z2.|^2 = |.z1.| ^2 * |.z2.| ^2
proof
  set z3 = z1 * z2;
A1: Rea (z1*z2)= (Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3
  z1 * Im3 z2) & Im1 (z1*z2)= (Rea z1 * Im1 z2 + Im1 z1 * Rea z2 + Im2 z1 * Im3
  z2 - Im3 z1 * Im2 z2) by QUATERNI:97;
A2: Im2 (z1*z2)= (Rea z1 * Im2 z2 + Im2 z1 * Rea z2 + Im3 z1 * Im1 z2 - Im1
  z1 * Im3 z2) & Im3 (z1*z2)= (Rea z1 * Im3 z2 + Im3 z1 * Rea z2 + Im1 z1 * Im2
  z2 - Im2 z1 * Im1 z2) by QUATERNI:97;
 |.z1.| ^2 = (Rea z1)^2 + (Im1 z1)^2 + (Im2 z1)^2 + (Im3 z1)^2 & |.z2.|
  ^2 = (Rea z2)^2 + (Im1 z2)^2 + (Im2 z2)^2 + (Im3 z2)^2 by Th11;
  hence thesis by A1,A2,Th11;
end;
