reserve X for non empty UNITSTR;
reserve a, b for Real;
reserve x, y for Point of X;
reserve X for RealUnitarySpace;
reserve x, y, z, u, v for Point of X;

theorem Th18:
  (x - y) .|. (x - y) = x .|. x - 2 * x .|. y + y .|. y
proof
  (x - y) .|. (x - y) = x .|. (x - y) - y .|. (x - y) by Th11
    .= x .|. x - x .|. y - y .|. (x - y) by Th12
    .= x .|. x - x .|. y - ( x .|. y - y .|. y ) by Th12
    .= x .|. x - ( x .|. y + x .|. y ) + y .|. y;
  hence thesis;
end;
