reserve z1,z2,z3,z4,z for Quaternion;

theorem
  <i>*z1-z1*<i> = [*0,0,-2*Im3 z1,2*Im2 z1*]
proof
  set z = <i>; set s = z*z1-z1*z;
A1: Rea (z1 * z) =
  Rea z1 * Rea z - Im1 z1 * Im1 z - Im2 z1 * Im2 z - Im3 z1 * Im3 z &
  Im1 (z1 * z) =
  Rea z1 * Im1 z + Im1 z1 * Rea z + Im2 z1 * Im3 z - Im3 z1 * Im2 z &
  Im2 (z1 * z) =
  Rea z1 * Im2 z + Im2 z1 * Rea z + Im3 z1 * Im1 z - Im1 z1 * Im3 z &
  Im3 (z1 * z) =
  Rea z1 * Im3 z + Im3 z1 * Rea z + Im1 z1 * Im2 z - Im2 z1 * Im1 z
    by QUATERNI:97;
A2: Im2 (z * z1) =
  Rea z * Im2 z1 + Im2 z * Rea z1 + Im3 z * Im1 z1 - Im1 z * Im3 z1 &
  Im3 (z * z1) =
  Rea z * Im3 z1 + Im3 z * Rea z1 + Im1 z * Im2 z1 - Im2 z * Im1 z1
  by QUATERNI:97;
    Rea (z*z1)= -Im1 z1 & Im1 (z*z1) = Rea z1 by A1,QUATERNI:30,97; then
A3: Rea s = -Im1 z1 - -Im1 z1 & Im1 s = Rea z1 - Rea z1 by A1,QUATERNI:30,42;
    Im2 s = -Im3 z1 - Im3 z1 &
      Im3 s = Im2 z1 -- Im2 z1 by A2,A1,QUATERNI:30,42;
  hence thesis by A3,QUATERNI:24;
end;
