
theorem
for A be non empty closed_interval Subset of REAL,
f1,f2 be PartFunc of REAL, COMPLEX
  st f1 is_integrable_on A & f2 is_integrable_on A
   & A c= dom f1 & A c= dom f2 & (f1|A) is bounded & (f2|A) is bounded
   holds f1+f2 is_integrable_on A
       & f1-f2 is_integrable_on A
       & integral(f1+f2,A)=integral(f1,A)+integral(f2,A)
       & integral(f1-f2,A)=integral(f1,A)-integral(f2,A)
proof
let A be non empty closed_interval Subset of REAL;
let f1,f2 be PartFunc of REAL, COMPLEX;
assume that
A1: f1 is_integrable_on A & f2 is_integrable_on A and
A2: A c= dom f1 & A c= dom f2 and
A3: f1|A is bounded and
A4: f2|A is bounded;
A5: (Re f1) + (Re f2) is_integrable_on A & (Im f1) + (Im f2) is_integrable_on A
  & integral((Re f1) + (Re f2),A) = integral((Re f1),A) + integral((Re f2),A)
  & integral((Im f1) + (Im f2),A) = integral((Im f1),A) + integral((Im f2),A)
  & (Re f1) - (Re f2) is_integrable_on A
  & (Im f1) - (Im f2) is_integrable_on A
  & integral((Re f1) - (Re f2),A) = integral((Re f1),A) - integral((Re f2),A)
  & integral((Im f1) - (Im f2),A) = integral((Im f1),A) - integral((Im f2),A)
  proof
  A6:A c= dom (Re f1) & A c= dom (Re f2) &
      A c= dom (Im f1) & A c= dom (Im f2) by A2,COMSEQ_3:def 3,def 4;
    Re (f2|A) is bounded & Im (f2|A) is bounded by A4,Th11; then
  A7:(Re f2)|A is bounded & (Im f2)|A is bounded by Lm4;
    Re (f1|A) is bounded & Im (f1|A) is bounded by A3,Th11; then
  A8:(Re f1)|A is bounded & (Im f1)|A is bounded by Lm4;
  A9:Re f1 is_integrable_on A & Im f1 is_integrable_on A
    & Re f2 is_integrable_on A & Im f2 is_integrable_on A by A1;
    hence (Re f1) + (Re f2) is_integrable_on A
        & (Im f1) + (Im f2) is_integrable_on A
        & integral((Re f1)+(Re f2),A)=integral((Re f1),A)+integral((Re f2),A)
        & integral((Im f1)+(Im f2),A)=integral((Im f1),A)+integral((Im f2),A)
          by A6,A7,A8,INTEGRA6:11;
    thus (Re f1) - (Re f2) is_integrable_on A
       & (Im f1) - (Im f2) is_integrable_on A
       & integral((Re f1)-(Re f2),A)=integral((Re f1),A)-integral((Re f2),A)
       & integral((Im f1)-(Im f2),A)=integral((Im f1),A)-integral((Im f2),A)
         by A6,A7,A8,A9,INTEGRA6:11;
  end;
  then Re (f1+f2) is_integrable_on A & Im (f1+f2) is_integrable_on A
& Re (f1-f2) is_integrable_on A & Im (f1-f2) is_integrable_on A
  by MESFUN6C:5,6;
hence f1+f2 is_integrable_on A & f1-f2 is_integrable_on A;
  Re(integral(f1,A)) + Re(integral(f2,A))
      =integral((Re f1),A) + integral((Re f2),A)
& Im(integral(f1,A)) + Im(integral(f2,A))
   =integral((Im f1),A) + integral((Im f2),A)
& Re(integral(f1,A)) - Re(integral(f2,A))
   =integral((Re f1),A) - integral((Re f2),A)
& Im(integral(f1,A)) - Im(integral(f2,A))
   =integral((Im f1),A) - integral((Im f2),A)
  proof
    Re (integral(f1,A)) = integral((Re f1),A)
  & Im (integral(f1,A)) = integral((Im f1),A)
  & Re (integral(f2,A)) = integral((Re f2),A)
  & Im (integral(f2,A)) = integral((Im f2),A) by COMPLEX1:12;
    hence thesis;
  end; then
  Re (integral(f1,A)) + Re (integral(f2,A)) = integral(Re (f1+f2),A)
& Im (integral(f1,A)) + Im (integral(f2,A))
   = integral(Im (f1+f2),A)
& Re (integral(f1,A)) - Re (integral(f2,A))
   = integral(Re (f1-f2),A)
& Im (integral(f1,A)) - Im (integral(f2,A))
   = integral(Im (f1-f2),A) by A5,MESFUN6C:5,6; then
A10: Re (integral(f1+f2,A)) = Re (integral(f1,A)) + Re (integral(f2,A))
   & Im (integral(f1+f2,A)) = Im (integral(f1,A)) + Im (integral(f2,A))
   & Re (integral(f1-f2,A)) = Re (integral(f1,A)) - Re (integral(f2,A))
   & Im (integral(f1-f2,A)) = Im (integral(f1,A)) - Im (integral(f2,A))
   by COMPLEX1:12; then
  Re (integral(f1+f2,A)) = Re (integral(f1,A) + integral(f2,A))
& Im (integral(f1+f2,A)) = Im (integral(f1,A) + integral(f2,A))
  by COMPLEX1:8;
hence integral(f1+f2,A)=integral(f1,A)+integral(f2,A);
  Re (integral(f1-f2,A)) = Re (integral(f1,A) - integral(f2,A))
& Im (integral(f1-f2,A)) = Im (integral(f1,A) - integral(f2,A))
  by A10,COMPLEX1:19;
hence integral(f1-f2,A)=integral(f1,A)-integral(f2,A);
end;
