reserve rseq, rseq1, rseq2 for Real_Sequence;
reserve seq, seq1, seq2 for Complex_Sequence;
reserve k, n, n1, n2, m for Nat;
reserve p, r for Real;
reserve z for Complex;
reserve Nseq,Nseq1 for increasing sequence of NAT;

theorem
  Re (seq1 (#) seq2) = Re seq1(#)Re seq2-Im seq1(#)Im seq2 & Im (seq1
  (#) seq2) = Re seq1(#)Im seq2+Im seq1(#)Re seq2
proof
  now
    let n be Element of NAT;
    thus Re (seq1 (#) seq2).n=Re((seq1 (#) seq2).n) by Def5
      .=Re((seq1.n * seq2.n )) by VALUED_1:5
      .=Re(Re(seq1.n) * Re(seq2.n) - Im(seq1.n) * Im(seq2.n)+ (Re(seq1.n) *
    Im(seq2.n) + Re(seq2.n) * Im(seq1.n))*<i>) by COMPLEX1:82
      .= Re(seq1.n) * Re(seq2.n) - Im(seq1.n) * Im(seq2.n) by COMPLEX1:12
      .= (Re seq1.n) * Re(seq2.n) - Im(seq1.n) * Im(seq2.n) by Def5
      .= (Re seq1.n) *( Re seq2.n) - Im(seq1.n) * Im(seq2.n) by Def5
      .= (Re seq1.n) *( Re seq2.n) - Im(seq1.n) *( Im seq2.n) by Def6
      .= (Re seq1.n) *( Re seq2.n) - (Im seq1.n)*( Im seq2.n) by Def6
      .= (Re seq1 (#) Re seq2).n - (Im seq1.n) *( Im seq2.n) by SEQ_1:8
      .= (Re seq1 (#) Re seq2).n - (Im seq1 (#) Im seq2).n by SEQ_1:8
      .= (Re seq1 (#)Re seq2).n + (- (Im seq1 (#) Im seq2).n)
      .= (Re seq1 (#) Re seq2).n + (- Im seq1 (#) Im seq2).n by SEQ_1:10
      .= (Re seq1 (#) Re seq2 - Im seq1 (#) Im seq2).n by SEQ_1:7;
  end;
  hence Re (seq1 (#) seq2)=Re seq1(#)Re seq2-Im seq1(#)Im seq2;
  now
    let n be Element of NAT;
    thus Im (seq1 (#) seq2).n =Im((seq1 (#) seq2).n) by Def6
      .=Im((seq1.n * seq2.n )) by VALUED_1:5
      .=Im(Re(seq1.n) * Re(seq2.n) - Im(seq1.n) * Im(seq2.n)+ (Re(seq1.n) *
    Im(seq2.n) + Re(seq2.n) * Im(seq1.n))*<i>) by COMPLEX1:82
      .= Re(seq1.n) * Im(seq2.n) + Re(seq2.n) * Im(seq1.n) by COMPLEX1:12
      .= Re(seq1.n) * Im(seq2.n) + Im(seq1.n) * Re seq2.n by Def5
      .= Re seq1.n * Im(seq2.n) + Im(seq1.n) * Re seq2.n by Def5
      .= Re seq1.n * Im seq2.n + Im(seq1.n) * Re seq2.n by Def6
      .= (Re seq1.n * Im seq2.n) + (Im seq1.n * Re seq2.n) by Def6
      .= (Re seq1 (#) Im seq2).n + Im seq1.n *( Re seq2.n) by SEQ_1:8
      .= (Re seq1 (#) Im seq2).n + (Im seq1 (#) Re seq2).n by SEQ_1:8
      .= (Re seq1 (#) Im seq2 + Im seq1 (#) Re seq2).n by SEQ_1:7;
  end;
  hence thesis;
end;
