reserve z1,z2,z3,z4,z for Quaternion;

theorem
  <k>*z1-z1*<k> = [*0,-2*Im2 z1,2*Im1 z1,0*]
proof
  set z = <k>;
A1: z*z1 =
  (Rea z * Rea z1 - Im1 z * Im1 z1 - Im2 z * Im2 z1 - Im3 z * Im3 z1) +
  (Rea z * Im1 z1 + Im1 z * Rea z1 + Im2 z * Im3 z1 - Im3 z * Im2 z1)*<i> +
  (Rea z * Im2 z1 + Im2 z * Rea z1 + Im3 z * Im1 z1 - Im1 z * Im3 z1)*<j> +
  (Rea z * Im3 z1 + Im3 z * Rea z1 + Im1 z * Im2 z1 - Im2 z * Im1 z1)*<k>
    by QUATERNI:93
  .= [*-Im3 z1,-Im2 z1,Im1 z1,Rea z1 *] by QUATERN2:1,QUATERNI:31;
   z1*z =
  (Rea z1 * Rea z - Im1 z1 * Im1 z - Im2 z1 * Im2 z - Im3 z1 * Im3 z) +
  (Rea z1 * Im1 z + Im1 z1 * Rea z + Im2 z1 * Im3 z - Im3 z1 * Im2 z)*<i> +
  (Rea z1 * Im2 z + Im2 z1 * Rea z + Im3 z1 * Im1 z - Im1 z1 * Im3 z)*<j> +
  (Rea z1 * Im3 z + Im3 z1 * Rea z + Im1 z1 * Im2 z - Im2 z1 * Im1 z)*<k>
    by QUATERNI:93
  .= [*-Im3 z1,Im2 z1,-Im1 z1,Rea z1*] by QUATERN2:1,QUATERNI:31; then
   z*z1-z1*z = [*-Im3 z1--Im3 z1,-Im2 z1 - Im2 z1,Im1 z1 -- Im1 z1,
      Rea z1 - Rea z1 *] by A1,QUATERN2:5
    .= [*0,-2*Im2 z1,2*Im1 z1,0 *];
  hence thesis;
end;
