reserve a,b,c,d for Real;
reserve z,z1,z2 for Complex;

theorem
  Re(z1 / z2) = (Re z1 * Re z2 + Im z1 * Im z2) / ((Re z2)^2 + (Im z2)^2) &
  Im(z1 / z2) = (Re z2 * Im z1 - Re z1 * Im z2) / ((Re z2)^2 + (Im z2)^2)
proof
  thus Re(z1 / z2) = Re((Re z1 * Re z2 + Im z1 * Im z2) / ((Re z2)^2 + (Im z2)
^2) + ((Re z2 * Im z1 - Re z1 * Im z2) / ((Re z2)^2 + (Im z2)^2))*<i>)
     by Lm25
    .= (Re z1 * Re z2 + Im z1 * Im z2) / ((Re z2)^2 + (Im z2)^2) by Th12;
  thus Im(z1 / z2) = Im((Re z1 * Re z2 + Im z1 * Im z2) / ((Re z2)^2 + (Im z2)
^2) + ((Re z2 * Im z1 - Re z1 * Im z2) / ((Re z2)^2 + (Im z2)^2))*<i>)
     by Lm25
    .= (Re z2 * Im z1 - Re z1 * Im z2) / ((Re z2)^2 + (Im z2)^2) by Th12;
end;
