reserve z1,z2,z3,z4,z for Quaternion;

theorem
  z is Real implies z+z3 = Rea z + Rea z3+Im1 z3 *<i>+Im2 z3 *<j>+Im3 z3 *<k>
proof
  reconsider z1 = z + z3 as Quaternion;
  assume
A1: z is Real; then
A2: Im3 z = 0 by Lm1;
  set z2 = [*Rea z+ Rea z3,Im1 z +Im1 z3,Im2 z +Im2 z3,Im3 z +Im3 z3*];
A3: Rea z2 = Rea z + Rea z3 by QUATERNI:23
    .= Rea z1 by QUATERNI:36;
A4: Im1 z2 = Im1 z+ Im1 z3 by QUATERNI:23
    .= Im1 z1 by QUATERNI:36;
A5: Im3 z2 = Im3 z + Im3 z3 by QUATERNI:23
    .= Im3 z1 by QUATERNI:36;
A6: Im2 z2 = Im2 z + Im2 z3 by QUATERNI:23
    .= Im2 z1 by QUATERNI:36;
 Im1 z = 0 & Im2 z = 0 by A1,Lm1;
then z+z3 = [* Rea z+Rea z3,Im1 z3,Im2 z3,Im3 z3*] by A2,A3,A4,A6,A5,
QUATERNI:25;
  hence thesis by QUATERN2:1;
end;
