reserve a,b,c,d,x,y,w,z,x1,x2,x3,x4 , X for set;
reserve A for non empty set;
reserve i,j,k for Element of NAT;
reserve a,b,c,d for Real;
reserve y,r,s,x,t,w for Element of RAT+;
reserve z,z1,z2,z3,z4 for Quaternion;

theorem
  Rea (z1 + z2 + z3 + z4) = Rea z1 + Rea z2 + Rea z3 + Rea z4 &
  Im1 (z1 + z2 + z3 + z4) = Im1 z1 + Im1 z2 + Im1 z3 + Im1 z4 &
  Im2 (z1 + z2 + z3 + z4) = Im2 z1 + Im2 z2 + Im2 z3 + Im2 z4 &
  Im3 (z1 + z2 + z3 + z4) = Im3 z1 + Im3 z2 + Im3 z3 + Im3 z4
proof
  (z1 + z2 + z3 + z4) = [* Rea z1 + Rea z2 + Rea z3 + Rea z4,
  Im1 z1 + Im1 z2 + Im1 z3 + Im1 z4, Im2 z1 + Im2 z2 + Im2 z3 + Im2 z4,
  Im3 z1 + Im3 z2 + Im3 z3 + Im3 z4*] by Lm15;
  hence thesis by Th16;
end;
