reserve L for Lattice,
  p,p1,q,q1,r,r1 for Element of L;
reserve x,y,z,X,Y,Z,X1,X2 for set;
reserve H,F for Filter of L;
reserve D for non empty Subset of L;
reserve D1,D2 for non empty Subset of L;
reserve I for I_Lattice,
  i,j,k for Element of I;
reserve B for B_Lattice,
  FB,HB for Filter of B;
reserve I for I_Lattice,
  i,j,k for Element of I,
  DI for non empty Subset of I,
  FI for Filter of I;

theorem Th34:
  <.D1 \/ D2.) = <.<.D1.) \/ D2.) & <.D1 \/ D2.) = <.D1 \/ <.D2.) .)
proof
  now
    let D1,D2;
    D2 c= D1 \/ D2 & D1 \/ D2 c= <.D1 \/ D2.) by Def4,XBOOLE_1:7;
    then
A1: D2 c= <.D1 \/ D2.);
    D1 c= <.D1.) by Def4;
    then D1 \/ D2 c= <.D1.) \/ D2 by XBOOLE_1:9;
    hence <.D1 \/ D2.) c= <.<.D1.) \/ D2.) by Th22;
    <.D1.) c= <.D1 \/ D2.) by Th22,XBOOLE_1:7;
    then <.D1.) \/ D2 c= <.D1 \/ D2.) by A1,XBOOLE_1:8;
    hence <.<.D1.) \/ D2.) c= <.D1 \/ D2.) by Def4;
  end;
  hence <.D1 \/ D2.) c= <.<.D1.) \/ D2.) & <.<.D1.) \/ D2.) c= <.D1 \/ D2.) &
  <.D1 \/ D2.) c= <.D1 \/ <.D2.).) & <.D1 \/ <.D2.).) c= <.D1 \/ D2.);
end;
