reserve a,b,c,d,x,y,w,z,x1,x2,x3,x4 , X for set;
reserve A for non empty set;
reserve i,j,k for Element of NAT;
reserve a,b,c,d for Real;
reserve y,r,s,x,t,w for Element of RAT+;
reserve z,z1,z2,z3,z4 for Quaternion;
 reserve x for Real;

theorem
  z1 = x implies Rea (z1*<j>) = 0 &
  Im1 (z1*<j>) = 0 & Im2 (z1*<j>) = x & Im3 (z1*<j>) = 0
proof
  assume
A1: z1 = x;
A2: Rea (z1 * <j>) = Rea z1 * Rea <j> - Im1 z1 * Im1 <j> - Im2 z1 * Im2 <j>
  - Im3 z1 * Im3 <j> by Lm17;
A3: Im1 (z1 * <j>) = Rea z1 * Im1 <j> + Im1 z1 * Rea <j> + Im2 z1 * Im3 <j>
  - Im3 z1 * Im2 <j> by Lm17;
A4: Im2 (z1 * <j>) = Rea z1 * Im2 <j> + Im2 z1 * Rea <j> + Im3 z1 * Im1 <j>
  - Im1 z1 * Im3 <j> by Lm17;
  Im3 (z1 * <j>) = Rea z1 * Im3 <j> + Im3 z1 * Rea <j> + Im1 z1 * Im2 <j>
  - Im2 z1 * Im1 <j> by Lm17;
  hence thesis by A1,A2,A3,A4,Lm18,Th24;
end;
