reserve a,b,c,d,x,y,w,z,x1,x2,x3,x4 , X for set;
reserve A for non empty set;
reserve i,j,k for Element of NAT;
reserve a,b,c,d for Real;
reserve y,r,s,x,t,w for Element of RAT+;
reserve z,z1,z2,z3,z4 for Quaternion;
 reserve x for Real;

theorem
  Rea z1 = 0 & Rea z2 = 0 implies
  Rea(z1*z2) = - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3 z2 &
  Im1(z1*z2) = Im2 z1 * Im3 z2 - Im3 z1 * Im2 z2 &
  Im2(z1*z2) = Im3 z1 * Im1 z2 - Im1 z1 * Im3 z2 &
  Im3(z1*z2) = Im1 z1 * Im2 z2 - Im2 z1 * Im1 z2
proof
  assume A1: Rea z1 = 0 & Rea z2 = 0;
    Rea (z1 * z2) =
Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3 z2 &
Im1 (z1 * z2) =
Rea z1 * Im1 z2 + Im1 z1 * Rea z2 + Im2 z1 * Im3 z2 - Im3 z1 * Im2 z2 &
Im2 (z1 * z2) =
Rea z1 * Im2 z2 + Im2 z1 * Rea z2 + Im3 z1 * Im1 z2 - Im1 z1 * Im3 z2 &
Im3 (z1 * z2) =
Rea z1 * Im3 z2 + Im3 z1 * Rea z2 + Im1 z1 * Im2 z2 - Im2 z1 * Im1 z2
  by Lm17;
    hence thesis by A1;
end;
