reserve z,z1,z2,z3,z4 for Element of F_Complex;

theorem
  z2 <> 0.F_Complex & z4 <> 0.F_Complex implies z1 / z2 - z3 / z4 = (z1
  * z4 - z3 * z2) / (z2 * z4)
proof
  reconsider z19=z1,z29=z2,z39=z3,z49=z4 as Element of COMPLEX by Def1;
A1: z1 * z4 - z3 * z2 = z19 * z49 - z39 * z29 by Th3;
  assume
A2: z2 <> 0.F_Complex;
  then
A3: z19 / z29 = z1 / z2 by Th6;
  assume
A4: z4 <> 0.F_Complex;
  then
A5: z2 * z4 <> 0.F_Complex by A2,VECTSP_1:12;
  z39 / z49 = z3 / z4 by A4,Th6;
  hence z1 / z2 - z3 / z4 = z19 / z29 - z39 / z49 by A3,Th3
    .= (z19 * z49 - z39 * z29) / (z29 * z49) by A2,A4,Th7,XCMPLX_1:130
    .= (z1 * z4 - z3 * z2) / (z2 * z4) by A5,A1,Th6;
end;
