reserve L for Lattice,
  p,q,r for Element of L,
  p9,q9,r9 for Element of L.:,
  x, y for set;
reserve I,J for Ideal of L,
  F for Filter of L;
reserve D for non empty Subset of L,
  D9 for non empty Subset of L.:;
reserve D1,D2 for non empty Subset of L,
  D19,D29 for non empty Subset of L.:;

theorem Th44:
  D1 "\/" D2 = D1.: "/\" D2.: & D1.: "\/" D2.: = D1 "/\" D2 & D19
  "\/" D29 = .:D19 "/\" .:D29 & .:D19 "\/" .:D29 = D19 "/\" D29
proof
A1: for L,D1,D2 holds D1"\/"D2 = D1.:"/\"D2.:
  proof
    let L,D1,D2;
    thus D1"\/"D2 c= D1.:"/\"D2.:
    proof
      let x be object;
      assume x in D1"\/"D2;
      then consider p,q such that
A2:   x = p"\/"q & p in D1 & q in D2;
      p"\/"q = p.:"/\"q.:;
      hence thesis by A2;
    end;
    thus D1.:"/\"D2.: c= D1"\/"D2
    proof
      let x be object;
      assume x in D1.:"/\"D2.:;
      then consider p9,q9 such that
A3:   x = p9"/\"q9 & p9 in D1 & q9 in D2;
      .:p9"\/".:q9 = p9"/\"q9;
      hence thesis by A3;
    end;
  end;
A4: ( .:D19).: = .:D19 & ( .:D29).: = .:D29;
  D1.: .: "/\" D2.: .: = D1 "/\" D2 & D19.: "/\" D29.: = .:D19 "/\" .: D29
  by Lm3;
  hence thesis by A1,A4;
end;
