reserve x,x1,x2,x3 for Real;

theorem
  cosh(3*x)=4*(cosh(x))|^3-3*cosh(x)
proof
  cosh(3*x)=cosh.(x+x+x) by SIN_COS2:def 4
    .=(cosh.(2*x))*(cosh.x) + (sinh.(2*x))*(sinh.x) by SIN_COS2:20
    .=(2*(cosh.x)^2-1)*(cosh.x)+(sinh.(2*x))*(sinh.x) by SIN_COS2:23
    .=(2*(cosh.x)^2-1)*(cosh.x)+(2*(sinh.x)*(cosh.x))*(sinh.x) by SIN_COS2:23
    .=(2*(cosh.x)^2-1)*cosh.x+2*(sinh.x)^2*cosh.x
    .=(2*(cosh.x)^2-1)*cosh.x+2*((cosh.x)^2-1)*cosh.x by Lm3
    .=4*(cosh.x*cosh.x*cosh.x)-3*cosh.x
    .=4*((cosh.x)|^1*cosh.x*cosh.x)-3*cosh.x
    .=4*((cosh.x)|^(1+1)*cosh.x)-3*cosh.x by NEWTON:6
    .=4*((cosh.x)|^(2+1))-3*cosh.x by NEWTON:6
    .=4*(cosh.x)|^3-3*cosh(x) by SIN_COS2:def 4;
  hence thesis by SIN_COS2:def 4;
end;
