reserve z1,z2,z3,z4,z for Quaternion;

theorem
  (z1*z2)" = z2" * z1"
proof
  set z3 = z1*z2;
A1: Rea (z2") * Im1 (z1") +Im1 (z2")*Rea (z1")+ Im2 (z2")*Im3 (z1")-Im3 (z2"
  )*Im2 (z1") =(Rea z2 / |.z2.|^2) * Im1 (z1") +Im1 (z2")*Rea (z1")+ Im2 (z2")*
  Im3 (z1")-Im3 (z2")*Im2 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im1 z1 / |.z1.|^2) +Im1 (z2")*Rea (z1")+ Im2 (
  z2")*Im3 (z1")-Im3 (z2")*Im2 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im1 z1 / |.z1.|^2) +(-Im1 z2 / |.z2.|^2)*Rea (
  z1")+ Im2 (z2")*Im3 (z1")-Im3 (z2")*Im2 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im1 z1 / |.z1.|^2) + (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
  z1 / |.z1.|^2)+ Im2 (z2")*Im3 (z1")-Im3 (z2")*Im2 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im1 z1 / |.z1.|^2) + (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*Im3 (z1")-Im3 (z2")*Im2 (z1") by
QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im1 z1 / |.z1.|^2) + (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(-Im3 z1 / |.z1.|^2) - Im3 (z2")*Im2 (z1")
  by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im1 z1 / |.z1.|^2) + (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(-Im3 z1 / |.z1.|^2) - (-Im3 z2 / |.z2.|^2
  )*Im2 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)* ((-Im1 z1) / |.z1.|^2) + (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(
Rea z1 / |.z1.|^2)+ (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(-Im3 z1 / |.z1.|^2) - (-Im3 z2 / |.z2
  .|^2)*(-Im2 z1 / |.z1.|^2) by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 * (-Im1 z1)) /(|.z2.|^2 *|.z1.|^2) + ((-Im1 z2 )/ |.z2.|^2)*(
Rea z1 / |.z1.|^2)+ (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(-Im3 z1 / |.z1.|^2) - (-Im3 z2 / |.z2
  .|^2)*(-Im2 z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= ((Rea z2) * (-Im1 z1)) /(|.z2.|^2 *|.z1.|^2) + ((-Im1 z2) *Rea z1) /
(|.z2.|^2 * |.z1.|^2)+ (Im2 z2/ |.z2.|^2)*(Im3 z1 / |.z1.|^2) - (-Im3 z2 / |.z2
  .|^2)*(-Im2 z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= ((Rea z2) * (-Im1 z1)) /(|.z2.|^2 *|.z1.|^2) + ((-Im1 z2) *Rea z1) /
(|.z2.|^2 * |.z1.|^2)+ (Im2 z2 * Im3 z1)/ (|.z2.|^2*|.z1.|^2) - (Im3 z2 / |.z2
  .|^2)*(Im2 z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= ((Rea z2)* (-Im1 z1)+(-Im1 z2) *Rea z1+Im2 z2*Im3 z1) /(|.z2.|^2*|.z1
  .|^2) - (Im3 z2* Im2 z1)/ (|.z2.|^2* |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= ((Rea z2)* (-Im1 z1)+(-Im1 z2) *Rea z1+Im2 z2*Im3 z1 -Im3 z2*Im2 z1)/
  (|.z2.|*|.z1.|)^2;
A2: Rea (z2") * Im2 (z1") +Im2 (z2")*Rea (z1")+ Im3 (z2")*Im1 (z1")-Im1 (z2"
  )*Im3 (z1") = (Rea z2 / |.z2.|^2)* Im2 (z1") +Im2 (z2")*Rea (z1")+ Im3 (z2")*
  Im1 (z1")-Im1 (z2")*Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im2 z1 / |.z1.|^2) +Im2 (z2")*Rea (z1")+ Im3 (
  z2")*Im1 (z1")-Im1 (z2")*Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im2 z1 / |.z1.|^2) +(-Im2 z2 / |.z2.|^2)*Rea (
  z1")+ Im3 (z2")*Im1 (z1")-Im1 (z2")*Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im2 z1 / |.z1.|^2) + (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
  z1 / |.z1.|^2)+ Im3 (z2")*Im1 (z1")-Im1 (z2")*Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im2 z1 / |.z1.|^2) + (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*Im1 (z1")-Im1 (z2")*Im3 (z1") by
QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im2 z1 / |.z1.|^2) + (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
  z1 / |.z1.|^2)+ (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(-Im1 z1 / |.z1.|^2)-Im1 (z2")*Im3 (z1")
  by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im2 z1 / |.z1.|^2) + (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(-Im1 z1 / |.z1.|^2)- (-Im1 z2 / |.z2.|^2)
  *Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im2 z1 / |.z1.|^2) + (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(-Im1 z1 / |.z1.|^2)- (-Im1 z2 / |.z2.|^2)
  *(-Im3 z1 / |.z1.|^2) by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* ((-Im2 z1) / |.z1.|^2) + ((-Im2 z2) / |.z2.|^2)*
(Rea z1 / |.z1.|^2)+ (Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Im1 z1 / |.z1.|^2)- (Im1 z2 / |.z2.|
  ^2)*(Im3 z1 / |.z1.|^2)
    .= (Rea z2 *(-Im2 z1))/(|.z2.|^2*|.z1.|^2) + ((-Im2 z2) / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Im1 z1 / |.z1.|^2)- (Im1 z2 / |.z2.|^2)*(
  Im3 z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= (Rea z2 *(-Im2 z1))/(|.z2.|^2*|.z1.|^2) + ((-Im2 z2)*Rea z1 )/(|.z2.|
^2*|.z1.|^2)+ (Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Im1 z1 / |.z1.|^2)- (Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Im3
  z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= (Rea z2 *(-Im2 z1))/(|.z2.|^2*|.z1.|^2) + ((-Im2 z2)*Rea z1 )/(|.z2.|
^2*|.z1.|^2)+ (Im3 z2 * Im1 z1 )/ (|.z2.|^2*|.z1.|^2)- (Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Im3
  z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= (Rea z2 *(-Im2 z1)+(-Im2 z2)*Rea z1+Im3 z2 * Im1 z1)/(|.z2.|^2*|.z1.|
  ^2) -(Im1 z2 *Im3 z1) / (|.z2.|^2*|.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= (Rea z2 *(-Im2 z1)+(-Im2 z2)*Rea z1+Im3 z2 * Im1 z1-(Im1 z2 *Im3 z1))
  / (|.z2.|*|.z1.|)^2;
A3: Rea (z2") * Im3 (z1") +Im3 (z2")*Rea (z1")+ Im1 (z2")*Im2 (z1")-Im2 (z2"
  )*Im1 (z1") = (Rea z2 / |.z2.|^2)* Im3 (z1") +Im3 (z2")*Rea (z1")+ Im1 (z2")*
  Im2 (z1")-Im2 (z2")*Im1 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im3 z1 / |.z1.|^2) +Im3 (z2")*Rea (z1")+ Im1 (
  z2")*Im2 (z1")-Im2 (z2")*Im1 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im3 z1 / |.z1.|^2) +(-Im3 z2 / |.z2.|^2)*Rea (
  z1")+ Im1 (z2")*Im2 (z1")-Im2 (z2")*Im1 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im3 z1 / |.z1.|^2) + (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
  z1 / |.z1.|^2)+ Im1 (z2")*Im2 (z1")-Im2 (z2")*Im1 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im3 z1 / |.z1.|^2) + (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*Im2 (z1")-Im2 (z2")*Im1 (z1") by
QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im3 z1 / |.z1.|^2) + (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
  z1 / |.z1.|^2)+ (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(-Im2 z1 / |.z1.|^2)-Im2 (z2")*Im1 (z1")
  by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im3 z1 / |.z1.|^2) + (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(-Im2 z1 / |.z1.|^2)- (-Im2 z2 / |.z2.|^2)
  *Im1 (z1") by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* (-Im3 z1 / |.z1.|^2) + (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(-Im2 z1 / |.z1.|^2)- (-Im2 z2 / |.z2.|^2)
  *(-Im1 z1 / |.z1.|^2) by QUATERN2:29
    .= (Rea z2 / |.z2.|^2)* ((-Im3 z1) / |.z1.|^2) - (Im3 z2 / |.z2.|^2)*(
Rea z1 / |.z1.|^2)+ (Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Im2 z1 / |.z1.|^2)- (Im2 z2 / |.z2.|^2
  )*(Im1 z1 / |.z1.|^2)
    .= (Rea z2* (-Im3 z1))/(|.z2.|^2* |.z1.|^2) - (Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Rea
z1 / |.z1.|^2)+ (Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Im2 z1 / |.z1.|^2)- (Im2 z2 / |.z2.|^2)*(
  Im1 z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= (Rea z2* (-Im3 z1))/(|.z2.|^2* |.z1.|^2) - (Im3 z2 * Rea z1)/(|.z2.|
  ^2 *|.z1.|^2)+ (Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Im2 z1 / |.z1.|^2)- (Im2 z2 / |.z2.|^2)*(
  Im1 z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= (Rea z2* (-Im3 z1))/(|.z2.|^2* |.z1.|^2) - (Im3 z2 * Rea z1)/(|.z2.|
^2 *|.z1.|^2)+ (Im1 z2 * Im2 z1 )/(|.z2.|^2*|.z1.|^2)- (Im2 z2 / |.z2.|^2)*(Im1
  z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= (Rea z2* (-Im3 z1) -(Im3 z2 * Rea z1)+ (Im1 z2 * Im2 z1))/(|.z2.|^2*
  |.z1.|^2)- (Im2 z2 * Im1 z1)/(|.z2.|^2* |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .= (Rea z2* (-Im3 z1) -(Im3 z2 * Rea z1)+ (Im1 z2 * Im2 z1)-(Im2 z2 *
  Im1 z1))/(|.z2.|* |.z1.|)^2;
 Rea (z2")*Rea (z1") -Im1 (z2")*Im1 (z1")- Im2 (z2")*Im2 (z1")-Im3 (z2")*
Im3 (z1") =(Rea z2 / |.z2.|^2)*Rea (z1") -Im1 (z2")*Im1 (z1")- Im2 (z2")*Im2 (
  z1")-Im3 (z2")*Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)*(Rea z1 / |.z1.|^2) -Im1 (z2")*Im1 (z1")- Im2 (z2"
  )*Im2 (z1")-Im3 (z2")*Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)*(Rea z1 / |.z1.|^2) -(-Im1 z2 / |.z2.|^2)*Im1 (z1"
  )- Im2 (z2")*Im2 (z1")-Im3 (z2")*Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)*(Rea z1 / |.z1.|^2) - (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(-Im1
  z1 / |.z1.|^2)- Im2 (z2")*Im2 (z1")-Im3 (z2")*Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)*(Rea z1 / |.z1.|^2) - (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(-Im1
z1 / |.z1.|^2)- (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*Im2 (z1")-Im3 (z2")*Im3 (z1") by
QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)*(Rea z1 / |.z1.|^2) - (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(-Im1
z1 / |.z1.|^2)- (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(-Im2 z1/ |.z1.|^2)-Im3 (z2")*Im3 (z1")
by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 / |.z2.|^2)*(Rea z1 / |.z1.|^2) - (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(-Im1
z1 / |.z1.|^2)- (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(-Im2 z1/ |.z1.|^2)- (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*
  Im3 (z1") by QUATERN2:29
    .=(Rea z2/ |.z2.|^2)*(Rea z1 / |.z1.|^2) - (-Im1 z2 / |.z2.|^2)*(-Im1 z1
/ |.z1.|^2)- (-Im2 z2 / |.z2.|^2)*(-Im2 z1/ |.z1.|^2)- (-Im3 z2 / |.z2.|^2)*(-
  Im3 z1 / |.z1.|^2) by QUATERN2:29
    .=(Rea z2 * Rea z1) /(|.z2.|^2 * |.z1.|^2) - (Im1 z2 / |.z2.|^2)*(Im1 z1
  / |.z1.|^2)- (Im2 z2 / |.z2.|^2)*(Im2 z1/ |.z1.|^2)- (Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Im3
  z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .=(Rea z2 * Rea z1) /(|.z2.|^2 * |.z1.|^2) - (Im1 z2 * Im1 z1)/(|.z2.|^2
*|.z1.|^2)- (Im2 z2 / |.z2.|^2)*(Im2 z1/ |.z1.|^2)- (Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Im3 z1
  / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .=(Rea z2 * Rea z1) /(|.z2.|^2 * |.z1.|^2) - (Im1 z2 * Im1 z1)/(|.z2.|^2
  *|.z1.|^2)- (Im2 z2 * Im2 z1)/(|.z2.|^2 * |.z1.|^2)- (Im3 z2 / |.z2.|^2)*(Im3
  z1 / |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .=((Rea z2 * Rea z1)-(Im1 z2 * Im1 z1)-(Im2 z2 * Im2 z1))/ (|.z2.|^2 *
  |.z1.|^2) - (Im3 z2 * Im3 z1)/(|.z2.|^2 * |.z1.|^2) by XCMPLX_1:76
    .=(Rea z2 * Rea z1-Im1 z2 * Im1 z1-Im2 z2 * Im2 z1- Im3 z2 * Im3 z1)/(|.
  z2.| * |.z1.|)^2; then
A4: (z2") * (z1") =(Rea z2 * Rea z1-Im1 z2 * Im1 z1-Im2 z2 * Im2 z1- Im3 z2
* Im3 z1)/(|.z2.| * |.z1.|)^2 + (-(Rea z2* Im1 z1+Im1 z2 *Rea z1-Im2 z2*Im3 z1
  +Im3 z2*Im2 z1)/ (|.z2.|*|.z1.|)^2)*<i>+(-(Rea z2 *Im2 z1+ Im2 z2 *Rea z1-Im3
z2 * Im1 z1+Im1 z2 *Im3 z1) / (|.z2.|*|.z1.|)^2)*<j>+ (-(Rea z2* Im3 z1 +Im3 z2
* Rea z1- Im1 z2 * Im2 z1+Im2 z2 * Im1 z1)/(|.z2.|* |.z1.|)^2)*<k> by A1,A2,A3,
QUATERNI:93
    .=(Rea z2 * Rea z1-Im1 z2 * Im1 z1-Im2 z2 * Im2 z1- Im3 z2 * Im3 z1)/(|.
  z2.| * |.z1.|)^2 + -((Rea z2* Im1 z1+Im1 z2 *Rea z1-Im2 z2*Im3 z1 +Im3 z2*Im2
z1)/ (|.z2.|*|.z1.|)^2*<i>)+(-(Rea z2 *Im2 z1+ Im2 z2 *Rea z1-Im3 z2 * Im1 z1+
  Im1 z2 *Im3 z1) / (|.z2.|*|.z1.|)^2)*<j>+ (-(Rea z2* Im3 z1 +Im3 z2 * Rea z1-
  Im1 z2 * Im2 z1+Im2 z2 * Im1 z1)/(|.z2.|* |.z1.|)^2)*<k> by QUATERN2:9
    .=(Rea z2 * Rea z1-Im1 z2 * Im1 z1-Im2 z2 * Im2 z1- Im3 z2 * Im3 z1)/(|.
  z2.| * |.z1.|)^2 + -((Rea z2* Im1 z1+Im1 z2 *Rea z1-Im2 z2*Im3 z1 +Im3 z2*Im2
z1)/ (|.z2.|*|.z1.|)^2*<i>)+-((Rea z2 *Im2 z1+ Im2 z2 *Rea z1-Im3 z2 * Im1 z1+
  Im1 z2 *Im3 z1) / (|.z2.|*|.z1.|)^2*<j>)+ (-(Rea z2* Im3 z1 +Im3 z2 * Rea z1-
  Im1 z2 * Im2 z1+Im2 z2 * Im1 z1)/(|.z2.|* |.z1.|)^2)*<k> by QUATERN2:9
    .=(Rea z2 * Rea z1-Im1 z2 * Im1 z1-Im2 z2 * Im2 z1- Im3 z2 * Im3 z1)/(|.
z2.| * |.z1.|)^2 -(Rea z2* Im1 z1+Im1 z2 *Rea z1-Im2 z2*Im3 z1 +Im3 z2*Im2 z1)/
(|.z2.|*|.z1.|)^2*<i>-(Rea z2 *Im2 z1+ Im2 z2 *Rea z1-Im3 z2 * Im1 z1+Im1 z2 *
Im3 z1) / (|.z2.|*|.z1.|)^2*<j> -(Rea z2* Im3 z1 +Im3 z2 * Rea z1- Im1 z2 * Im2
  z1+Im2 z2 * Im1 z1)/(|.z2.|* |.z1.|)^2*<k> by QUATERN2:9;
 z3" = Rea z3 / (|.z3.|^2) - Im1 z3 / (|.z3.|^2)*<i> - Im2 z3 / (|.z3.|^2)
  *<j> - (Im3 z3) / (|.z3.|^2)*<k> by QUATERN2:28
    .= Rea z3 / (|.z1.|*|.z2.|)^2 - Im1 (z3) / |.z3.|^2*<i> - Im2 (z3) /|.z3
  .|^2*<j> - (Im3 (z3)) / |.z3.|^2*<k> by QUATERNI:87
    .= Rea (z3) / (|.z1.|*|.z2.|)^2 -Im1 (z3) / (|.z1.|*|.z2.|)^2*<i> - Im2
  (z3) /|.z3.|^2*<j> - (Im3 (z3)) / |.z3.|^2*<k> by QUATERNI:87
    .= Rea (z3) / (|.z1.|*|.z2.|)^2 -Im1 (z3) / (|.z1.|*|.z2.|)^2*<i> - Im2
  (z3) /(|.z1.|*|.z2.|)^2*<j> - (Im3 (z3)) / |.z3.|^2*<k> by QUATERNI:87
    .= Rea (z3) / (|.z1.|*|.z2.|)^2 -Im1 (z3) / (|.z1.|*|.z2.|)^2*<i> - Im2
(z3) /(|.z1.|*|.z2.|)^2*<j> - (Im3 (z3)) /(|.z1.|*|.z2.|)^2*<k> by QUATERNI:87
    .= (Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3
z2) /(|.z1.|*|.z2.|)^2 -Im1 (z1*z2) / (|.z1.|*|.z2.|)^2*<i> - Im2 (z1*z2) /(|.
  z1.|*|.z2.|)^2*<j> - (Im3 (z1*z2)) /(|.z1.|*|.z2.|)^2*<k> by QUATERNI:97
    .= (Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3
z2) /(|.z1.|*|.z2.|)^2 -(Rea z1 * Im1 z2 + Im1 z1 * Rea z2 + Im2 z1 * Im3 z2 -
Im3 z1 * Im2 z2) / (|.z1.|*|.z2.|)^2*<i> -Im2 (z1*z2) /(|.z1.|*|.z2.|)^2 *<j> -
  (Im3 (z1*z2)) /(|.z1.|*|.z2.|)^2*<k> by QUATERNI:97
    .= (Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3
z2) /(|.z1.|*|.z2.|)^2 -(Rea z1 * Im1 z2 + Im1 z1 * Rea z2 + Im2 z1 * Im3 z2 -
Im3 z1 * Im2 z2) / (|.z1.|*|.z2.|)^2*<i> -(Rea z1 * Im2 z2 + Im2 z1 * Rea z2 +
Im3 z1 * Im1 z2 - Im1 z1 * Im3 z2) /(|.z1.|*|.z2.|)^2*<j> - (Im3 (z1*z2)) /(|.
  z1.|*|.z2.|)^2*<k> by QUATERNI:97
    .= (Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3
z2) /(|.z1.|*|.z2.|)^2 -(Rea z1 * Im1 z2 + Im1 z1 * Rea z2 + Im2 z1 * Im3 z2 -
Im3 z1 * Im2 z2) / (|.z1.|*|.z2.|)^2 *<i> -(Rea z1 * Im2 z2 + Im2 z1 * Rea z2+
Im3 z1 * Im1 z2 - Im1 z1 * Im3 z2) /(|.z1.|*|.z2.|)^2* <j> - (Rea z1 * Im3 z2 +
  Im3 z1 * Rea z2 + Im1 z1 * Im2 z2 - Im2 z1 * Im1 z2) / (|.z1.|*|.z2.|)^2* <k>
  by QUATERNI:97;
  hence thesis by A4;
end;
