reserve a,b,c,d,e,f for Real,
        g           for positive Real,
        x,y         for Complex,
        S,T         for Element of REAL 2,
        u,v,w       for Element of TOP-REAL 3;
reserve a,b,c for Element of F_Real,
          M,N for Matrix of 3,F_Real;
reserve D        for non empty set;
reserve d1,d2,d3 for Element of D;
reserve A        for Matrix of 1,3,D;
reserve B        for Matrix of 3,1,D;
reserve u,v for non zero Element of TOP-REAL 3;

theorem Th40:
  for a being Real
  for ra2 being Element of F_Real st ra2 = a * a holds
  symmetric_3(a,a,-a,0,0,0) * symmetric_3(a,a,-a,0,0,0) = ra2 * 1.(F_Real,3)
  proof
    let a be Real;
    let ra2 be Element of F_Real;
    assume
A1: ra2 = a * a;
    reconsider zone = 1,z1 = 0, z2 = a,z3 = -a as Element of F_Real
      by XREAL_0:def 1;
    symmetric_3(a,a,-a,0,0,0) =  <* <* z2, z1, z1 *>,
                                    <* z1, z2, z1 *>,
                                    <* z1, z1, z3 *> *> by PASCAL:def 3;
    then
    symmetric_3(a,a,-a,0,0,0) * symmetric_3(a,a,-a,0,0,0)
      = <* <* z2 * z2 + z1 * z1 + z1 * z1, z2 * z1 + z1 * z2 + z1 * z1,
             z2 * z1 + z1 * z1 + z1 * z3 *>,
           <* z1 * z2 + z2 * z1 + z1 * z1, z1 * z1 + z2 * z2 + z1 * z1,
             z1 * z1 + z2 * z1 + z1 * z3 *>,
           <* z1 * z2 + z1 * z1 + z3 * z1, z1 * z1 + z1 * z2 + z3 * z1,
             z1 * z1 + z1 * z1 + z3 * z3 *> *> by ANPROJ_9:6
     .= <* <* ra2 * zone,ra2 * z1,ra2 * z1 *>,
           <* ra2 * z1,ra2 * zone,ra2 * z1 *>,
           <* ra2 * z1,ra2 * z1, ra2 * zone *> *> by A1
     .= ra2 * 1.(F_Real,3) by Th39,ANPROJ_9:1;
    hence thesis;
  end;
