reserve r, r1, r2, x, y, z,
        x1, x2, x3, y1, y2, y3 for Real;
reserve R, R1, R2, R3 for Element of 3-tuples_on REAL;
reserve p, q, p1, p2, p3, q1, q2 for Element of REAL 3;
reserve f1, f2, f3, g1, g2, g3, h1, h2, h3 for PartFunc of REAL,REAL;
reserve t, t0, t1, t2 for Real;

theorem
  p1.1*<e1> + p1.2*<e2> + p1.3*<e3>
 = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3> iff
  p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3>
 = (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
proof
A1:r1*R - r2*R = (r1-r2)*R
proof
   r1*R - r2*R = r1*R + ((-1)*r2)*R by RVSUM_1:49
.= (r1 + -r2)*R by RVSUM_1:50;
   hence thesis;
end;
A2:  <e1>.1 = 1 & <e1>.2 = 0 & <e1>.3 = 0;
A3:  <e2>.1 = 0 & <e2>.2 = 1 & <e2>.3 = 0;
A4:  <e3>.1 = 0 & <e3>.2 = 0 & <e3>.3 = 1;
    thus p1.1*<e1> + p1.2*<e2> + p1.3*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3> implies
    p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3>
  = (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
    proof
      assume p1.1*<e1> + p1.2*<e2> + p1.3*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>;
then
 p1.1*<e1> + (p1.2*<e2> + p1.3*<e3>) - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then
 p1.1*<e1> - p3.1*<e1> + (p1.2*<e2> + p1.3*<e3>) - p3.2*<e2> - p3.3*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3>
      by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2*<e2> + p1.3*<e3>) - p3.2*<e2> - p3.3*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3> by A1;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + p1.2*<e2> + p1.3*<e3> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + p1.2*<e2> - p3.2*<e2> + p1.3*<e3> - p3.3*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3>
      by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2*<e2> + -p3.2*<e2>) + p1.3*<e3> + -p3.3*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2*<e2> - p3.2*<e2>) + (p1.3*<e3> - p3.3*<e3>)
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3*<e3> - p3.3*<e3>)
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3> by A1;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.1*<e1> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3> by A1;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
    - p3.1*<e1> + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3>
      by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> - p3.1*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.2*<e2> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = (p2.1 + p3.1)*<e1> - p3.1*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> - p3.2*<e2>
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = (p2.1*<e1> + p3.1*<e1> + -p3.1*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2>- p3.2*<e2>)
    + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:50;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + (p3.1*<e1> - p3.1*<e1>) + (p2.2 + p3.2)*<e2> - p3.2*<e2>
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + 0.REAL 3 + (p2.2 + p3.2)*<e2> - p3.2*<e2>
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by EUCLIDLP:2;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> - p3.2*<e2>
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by EUCLID_4:1;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + (p2.2*<e2> + p3.2*<e2>) - p3.2*<e2>
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:50;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = (p2.1*<e1> + p2.2*<e2>) + p3.2*<e2> + -p3.2*<e2>
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = (p2.1*<e1> + p2.2*<e2>) + (p3.2*<e2> + -p3.2*<e2>)
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + 0.REAL 3
     + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by EUCLIDLP:2;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3> - p3.3*<e3> by EUCLID_4:1;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + (p2.3*<e3> + p3.3*<e3>) - p3.3*<e3>
    by RVSUM_1:50;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3> + p3.3*<e3> - p3.3*<e3>
    by RVSUM_1:15;
then  (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3> + (p3.3*<e3> + -p3.3*<e3>)
    by RVSUM_1:15;
 then (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
  = p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3> + 0.REAL 3 by EUCLIDLP:2;
      hence thesis by EUCLID_4:1;
    end;
      now assume
A5: p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3>
  = (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>;
 (p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3> + p3.1*<e1>) + p3.2*<e2> + p3.3*<e3>
  = (p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3>) + (p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3>)
    proof
A6: (p2.1*<e1>).1 = p2.1*1 by A2,RVSUM_1:44 .= p2.1;
A7: (p2.1*<e1>).2 = p2.1*0 by A2,RVSUM_1:44 .= 0;
A8: (p2.1*<e1>).3 = p2.1*0 by A2,RVSUM_1:44 .= 0;
A9: (p2.2*<e2>).1 = p2.2*<e2>.1 by RVSUM_1:44 .= 0;
A10: (p2.2*<e2>).2 = p2.2*1 by A3,RVSUM_1:44 .= p2.2;
A11: (p2.2*<e2>).3 = p2.2*0 by A3,RVSUM_1:44 .= 0;
A12: (p2.3*<e3>).1 = p2.3*0 by A4,RVSUM_1:44 .= 0;
A13: (p2.3*<e3>).2 = p2.3*0 by A4,RVSUM_1:44 .= 0;
A14: (p2.3*<e3>).3 = p2.3*1 by A4,RVSUM_1:44 .= p2.3;
A15: (p3.1*<e1>).1 = p3.1*1 by A2,RVSUM_1:44 .= p3.1;
A16: (p3.1*<e1>).2 = p3.1*0 by A2,RVSUM_1:44 .= 0;
A17: (p3.1*<e1>).3 = p3.1*0 by A2,RVSUM_1:44 .= 0;
A18: (p3.2*<e2>).1 = p3.2*<e2>.1 by RVSUM_1:44 .= 0;
A19: (p3.2*<e2>).2 = p3.2*1 by A3,RVSUM_1:44 .= p3.2;
A20: (p3.2*<e2>).3 = p3.2*0 by A3,RVSUM_1:44 .= 0;
A21: (p3.3*<e3>).1 = p3.3*0 by A4,RVSUM_1:44 .= 0;
A22: (p3.3*<e3>).2 = p3.3*0 by A4,RVSUM_1:44 .= 0;
A23: (p3.3*<e3>).3 = p3.3*1 by A4,RVSUM_1:44 .= p3.3;
A24: p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3>
   = p2.1*<e1> + (p2.2*<e2> + p2.3*<e3>) by RVSUM_1:15
  .= p2.1*<e1> + |[ 0+0, p2.2+0, 0+p2.3 ]| by A9,A10,A11,A12,A13,A14,Lm2
  .= |[ p2.1, 0, 0 ]| + |[ 0, p2.2, p2.3 ]| by A6,A7,A8,Th1
  .= |[ p2.1+0, 0+p2.2, 0+p2.3 ]| by Lm8
  .= |[ p2.1, p2.2, p2.3 ]|;
A25: p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3>
   = p3.1*<e1> + (p3.2*<e2> + p3.3*<e3>) by RVSUM_1:15
  .= p3.1*<e1> + |[ 0+0, p3.2+0, 0+p3.3 ]| by A18,A19,A20,A21,A22,A23,Lm2
  .= |[ p3.1, 0, 0 ]| + |[ 0, p3.2, p3.3 ]| by A15,A16,A17,Th1
  .= |[ p3.1+0, 0+p3.2, 0+p3.3 ]| by Lm8
  .= |[ p3.1, p3.2, p3.3 ]|;
     (p2.1*<e1> + p2.2*<e2> + p2.3*<e3> + p3.1*<e1>) + p3.2*<e2> + p3.3*<e3>
   = p2.1*<e1> + (p2.2*<e2> + p2.3*<e3>) + p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3>
      by RVSUM_1:15
  .= p2.1*<e1> + |[ 0+0, p2.2+0, 0+p2.3 ]| + p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3>
     by A9,A10,A11,A12,A13,A14,Lm2
  .= |[ p2.1, 0, 0 ]| + |[ 0, p2.2, p2.3 ]| + p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3>
     by A6,A7,A8,Th1
  .= |[ p2.1+0, 0+p2.2, 0+p2.3 ]| + p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by Lm8
  .= |[ p2.1, p2.2, p2.3 ]| + |[ p3.1, 0, 0 ]| + p3.2*<e2> + p3.3*<e3>
     by A15,A16,A17,Th1
  .= |[ p2.1+p3.1, p2.2+0, p2.3+0 ]| + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by Lm8
  .= |[ p2.1+p3.1, p2.2, p2.3 ]| + |[ 0, p3.2, 0 ]| + p3.3*<e3>
     by A18,A19,A20,Th1
  .= |[ p2.1+p3.1+0, p2.2+p3.2, p2.3+0 ]| + p3.3*<e3> by Lm8
  .= |[ p2.1+p3.1, p2.2+p3.2, p2.3 ]| + |[ 0, 0, p3.3 ]| by A21,A22,A23,Th1
  .= |[ p2.1+p3.1+0, p2.2+p3.2+0, p2.3+p3.3 ]| by Lm8;
      hence thesis by A24,A25,Lm8;
    end;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = (p1.1 - p3.1)*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
    + p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by A5,EUCLIDLP:24;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = (p1.1 - p3.1)*<e1> + ((p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>)
    + p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> - p3.1*<e1> + ((p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>)
    + p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by A1;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + ((p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>) - p3.1*<e1>
    + p3.1*<e1> + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + ((p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>)
    + (p3.1*<e1> - p3.1*<e1>) + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + ((p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>)
    + 0.REAL 3 + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by RVSUM_1:37;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + ((p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>)
    + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by EUCLID_4:1;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3 - p3.3)*<e3>
    + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3*<e3> - p3.3*<e3>)
    + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by A1;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = (p1.1*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + p1.3*<e3> - p3.3*<e3>)
    + p3.2*<e2> + p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = (p1.1*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + p1.3*<e3> + p3.2*<e2>)
     - p3.3*<e3> + p3.3*<e3> by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + p1.3*<e3> + p3.2*<e2>
    + (p3.3*<e3> - p3.3*<e3>) by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + p1.3*<e3> + p3.2*<e2> + 0.REAL 3
    by RVSUM_1:37;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + p1.3*<e3> + p3.2*<e2> by EUCLID_4:1;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + (p1.2 - p3.2)*<e2> + (p1.3*<e3> + p3.2*<e2>) by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + (p1.2*<e2> - p3.2*<e2>) + (p1.3*<e3> + p3.2*<e2>) by A1;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + p1.2*<e2> + -p3.2*<e2> + (p1.3*<e3> + p3.2*<e2>)
    by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + p1.2*<e2> - p3.2*<e2> + p1.3*<e3> + p3.2*<e2>
    by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + p1.2*<e2> + p1.3*<e3> - p3.2*<e2> + p3.2*<e2>
    by RVSUM_1:15;
then  (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + p1.2*<e2> + p1.3*<e3> + (p3.2*<e2> - p3.2*<e2>)
    by RVSUM_1:15;
 then (p2.1 + p3.1)*<e1> + (p2.2 + p3.2)*<e2> + (p2.3 + p3.3)*<e3>
  = p1.1*<e1> + p1.2*<e2> + p1.3*<e3> + 0.REAL 3 by RVSUM_1:37;
      hence thesis by EUCLID_4:1;
    end;
  hence thesis;
end;
