reserve x,r,a,x0,p for Real;
reserve n,i,m for Element of NAT;
reserve Z for open Subset of REAL;
reserve f,f1,f2 for PartFunc of REAL,REAL;
reserve k for Nat;

theorem
  diff(cos^2,Z).2 = 2(#)((sin^2)|Z) +(-2)(#)((cos^2)|Z)
proof
  cos is_differentiable_on 2,Z by TAYLOR_2:21;
  then
  diff(cos^2,Z).2 =(diff(cos,Z).(2*1))(#)cos + 2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) +
  cos(#)(diff(cos,Z).(2*1)) by Th50
    .=((-1) |^ 1 (#) cos | Z)(#)cos + 2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) +cos(#)(diff
  (cos,Z).(2*1))by TAYLOR_2:19
    .=((-1) |^ 1 (#) cos | Z)(#)cos + 2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) +cos(#)((-1)
  |^ 1 (#) cos | Z) by TAYLOR_2:19
    .=((-1) |^ 1 (#) cos | Z)(#)cos + 2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) +cos(#)((-1)
  (#) cos | Z)
    .=((-1)(#) cos | Z)(#)cos + 2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) +cos(#)((-1)(#)
  cos | Z)
    .=2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) + (cos(#)((-1)(#) cos | Z) +cos(#)((-1)(#)
  cos | Z)) by RFUNCT_1:8
    .=2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) + (1(#)(cos(#)((-1)(#) cos | Z)) +cos(#)((-1
  )(#) cos | Z)) by RFUNCT_1:21
    .=2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) + (1(#)(cos(#)((-1)(#) cos | Z)) +1(#)(cos
  (#)((-1)(#) cos | Z))) by RFUNCT_1:21
    .=2(#)((cos`|Z)(#)(cos`|Z)) +(1+1)(#)(cos(#)((-1)(#) cos | Z)) by Th5
    .=2(#)(((-sin)|Z)(#)(cos`|Z))+2(#)(cos(#)((-1)(#) cos | Z)) by TAYLOR_2:17
    .=2(#)(((-sin)|Z)(#)((-sin)|Z)) + 2(#)(cos(#)((-1)(#) cos | Z)) by
TAYLOR_2:17
    .=2(#)(((-sin)(#)(-sin))|Z) +2(#)(((-1)(#)cos|Z)(#)cos) by RFUNCT_1:45
    .=2(#)(((-sin)(#)(-sin))|Z) +2(#)((-1)(#)(cos|Z(#)cos)) by RFUNCT_1:12
    .=2(#)(((-sin)(#)(-sin))|Z) +(2*(-1))(#)(cos|Z(#)cos) by RFUNCT_1:17
    .=2(#)(((-sin)(#)(-sin))|Z) +(-2)(#)((cos(#)cos)|Z) by RFUNCT_1:45
    .=2(#)((sin(#)sin)|Z) +(-2)(#)((cos(#)cos)|Z) by Th2;
  hence thesis;
end;
