reserve a,b,c,d,x,y,w,z,x1,x2,x3,x4 , X for set;
reserve A for non empty set;
reserve i,j,k for Element of NAT;
reserve a,b,c,d for Real;
reserve y,r,s,x,t,w for Element of RAT+;
reserve z,z1,z2,z3,z4 for Quaternion;
 reserve x for Real;

theorem
  (z1 + z2)*' = z1*' + z2*'
proof
A1: z1*' = [*Rea z1, -Im1 z1, -Im2 z1, -Im3 z1*] by Th36;
A2: z2*' = [*Rea z2, -Im1 z2, -Im2 z2, -Im3 z2*] by Th36;
A3: (z1+z2)*' = [*Rea (z1+z2), -Im1 (z1+z2), -Im2 (z1+z2), -Im3 (z1+z2)*]
  by Th36;
  z1*' + z2*' = [* Rea z1 + Rea z2, - Im1 z1 + - Im1 z2,
  - Im2 z1 + - Im2 z2, - Im3 z1 + - Im3 z2*] by A1,A2,Def6
    .= [* Rea (z1 + z2), - (Im1 z1 + Im1 z2),
  - (Im2 z1 + Im2 z2), - (Im3 z1 + Im3 z2)*] by Th29
    .= [* Rea (z1 + z2), - Im1 (z1 + z2),
  - (Im2 z1 + Im2 z2), - (Im3 z1 + Im3 z2)*] by Th29
    .= [* Rea (z1 + z2), - Im1 (z1 + z2),
  - Im2 (z1+z2), - (Im3 z1 + Im3 z2)*] by Th29;
  hence thesis by A3,Th29;
end;
