reserve x,r,a,x0,p for Real;
reserve n,i,m for Element of NAT;
reserve Z for open Subset of REAL;
reserve f,f1,f2 for PartFunc of REAL,REAL;
reserve k for Nat;

theorem
  diff(sin(#)cos,Z).2 = 4(#)((-sin)(#)cos)|Z
proof
  cos is_differentiable_on 2,Z & sin is_differentiable_on 2,Z by TAYLOR_2:21;
  then
  diff(sin(#)cos,Z).2 =(diff(sin,Z).(2*1))(#)cos+2(#)((sin`|Z) (#) (cos`|Z
  )) + sin(#)(diff(cos,Z).(2*1)) by Th50
    .=((-1) |^ 1(#)sin | Z)(#)cos + 2(#)((sin`|Z)(#)(cos`|Z)) + sin(#)(diff(
  cos,Z).(2*1)) by TAYLOR_2:19
    .=((-1) |^ 1(#)sin | Z)(#)cos + 2(#)((sin`|Z)(#)(cos`|Z)) + sin(#)((-1)
  |^ 1(#)cos | Z) by TAYLOR_2:19
    .=((-1)(#)sin | Z)(#)cos + 2(#)((sin`|Z)(#)(cos`|Z)) + sin(#)((-1) |^ 1
  (#)cos | Z)
    .=((-1)(#)sin | Z)(#)cos + 2(#)((sin`|Z)(#)(cos`|Z)) + sin(#)((-1)(#)cos
  | Z)
    .=((-1)(#)sin | Z)(#)cos + 2(#)((cos|Z)(#)(cos`|Z)) + sin(#)((-1)(#)cos
  | Z) by TAYLOR_2:17
    .=((-1)(#)sin | Z)(#)cos + 2(#)((cos|Z)(#)((-sin) | Z)) + sin(#)((-1)(#)
  cos | Z) by TAYLOR_2:17
    .=(((-1)(#)sin) | Z)(#)cos + 2(#)((cos|Z)(#)((-sin) | Z)) + sin(#)((-1)
  (#)cos | Z) by RFUNCT_1:49
    .=(((-1)(#)sin) | Z)(#)cos + 2(#)((cos|Z)(#)((-sin) | Z)) + sin(#)(((-1)
  (#)cos) | Z) by RFUNCT_1:49
    .=((-sin)(#)cos)| Z + 2(#)((cos|Z)(#)((-sin) | Z)) + sin(#)((-cos) | Z)
  by RFUNCT_1:45
    .=((-sin)(#)cos)| Z + 2(#)((cos|Z)(#)((-sin) | Z)) + (sin(#)(-cos)) | Z
  by RFUNCT_1:45
    .=((-sin)(#)cos)| Z + 2(#)((-sin)(#)cos)|Z + (sin(#)(-cos)) | Z by
RFUNCT_1:45
    .=((-sin)(#)cos)| Z + 2(#)((-sin)(#)cos)|Z + ((-1)(#)(sin(#)cos)) | Z by
RFUNCT_1:13
    .=((-sin)(#)cos)| Z + 2(#)((-sin)(#)cos)|Z + (((-1)(#)sin)(#)cos) | Z by
RFUNCT_1:12
    .=1(#)((-sin)(#)cos)| Z + 2(#)((-sin)(#)cos)|Z + ((-sin)(#)cos)| Z by
RFUNCT_1:21
    .=1(#)((-sin)(#)cos)| Z + 2(#)((-sin)(#)cos)|Z + 1(#)((-sin)(#)cos)| Z
  by RFUNCT_1:21
    .=(1+2)(#)((-sin)(#)cos)|Z+ 1(#)((-sin)(#)cos)| Z by Th5
    .=(3+1)(#)((-sin)(#)cos)|Z by Th5
    .=4(#)((-sin)(#)cos)|Z;
  hence thesis;
end;
