
theorem
for C,D be non empty set,
    F1,F2 be without-infty Function of [:C,D:],ExtREAL,
      d be Element of D holds
    ProjMap2(F1+F2,d) = ProjMap2(F1,d) + ProjMap2(F2,d)
proof
   let C,D be non empty set;
   let F1,F2 be without-infty Function of [:C,D:],ExtREAL;
   let d be Element of D;
A2:dom ProjMap2(F1+F2,d) = C & dom ProjMap2(F1,d) = C & dom ProjMap2(F2,d) = C
      by FUNCT_2:def 1;
   {-infty} misses rng ProjMap2(F1,d) & {-infty} misses rng ProjMap2(F2,d)
     by ZFMISC_1:50,MESFUNC5:def 3; then
   ProjMap2(F1,d)"{-infty} = {} & ProjMap2(F2,d)"{-infty} = {}
     by RELAT_1:138; then
   dom ProjMap2(F1+F2,d) = (dom ProjMap2(F1,d) /\ dom ProjMap2(F2,d))
     \ ((ProjMap2(F1,d)"{-infty} /\ ProjMap2(F2,d)"{+infty})
     \/ (ProjMap2(F1,d)"{+infty} /\ ProjMap2(F2,d)"{-infty})) by A2; then
A5:dom ProjMap2(F1+F2,d) = dom (ProjMap2(F1,d) + ProjMap2(F2,d))
     by MESFUNC1:def 3;
   for c be object st c in dom ProjMap2(F1+F2,d) holds
    ProjMap2(F1+F2,d).c = (ProjMap2(F1,d) + ProjMap2(F2,d)).c
   proof
    let c be object;
    assume A3: c in dom ProjMap2(F1+F2,d); then
A4: ProjMap2(F1+F2,d).c = (F1+F2).(c,d) & ProjMap2(F1,d).c = F1.(c,d)
  & ProjMap2(F2,d).c = F2.(c,d) by MESFUNC9:def 7;
    reconsider c1=c as Element of C by A3;
    [c,d] in [:C,D:] by A3,ZFMISC_1:def 2; then
    ProjMap2(F1+F2,d).c = ProjMap2(F1,d).c + ProjMap2(F2,d).c by A4,Th7;
    hence thesis by A3,A5,MESFUNC1:def 3;
   end;
   hence ProjMap2(F1+F2,d) = ProjMap2(F1,d) + ProjMap2(F2,d) by A5,FUNCT_1:2;
end;
