 reserve n,m,i,p for Nat,
         h,k,r,r1,r2,x,x0,x1,x2,x3 for Real;
 reserve f,f1,f2,g for Function of REAL,REAL;

theorem
  x0 in dom tan & x1 in dom tan implies
  [!tan(#)tan(#)sin,x0,x1!] = ((sin(x0))|^3*(cos(x1))^2
  -(sin(x1))|^3*(cos(x0))^2)/((cos(x0))^2*(cos(x1))^2*(x0-x1))
proof
  assume
A1:x0 in dom tan & x1 in dom tan;
A2:cos(x0)<>0 & cos(x1)<>0 by A1,FDIFF_8:1;
  [!tan(#)tan(#)sin,x0,x1!] = ((tan(#)tan).x0*sin.x0
       -(tan(#)tan(#)sin).x1)/(x0-x1) by VALUED_1:5
    .= (tan.x0*tan.x0*sin.x0-(tan(#)tan(#)sin).x1)/(x0-x1) by VALUED_1:5
    .= (tan.x0*tan.x0*sin.x0-(tan(#)tan).x1*sin.x1)/(x0-x1) by VALUED_1:5
    .= (tan.x0*tan.x0*sin.x0-tan.x1*tan.x1*sin.x1)/(x0-x1) by VALUED_1:5
    .= ((sin.x0*(cos.x0)")*tan.x0*sin.x0
       -tan.x1*tan.x1*sin.x1)/(x0-x1) by A1,RFUNCT_1:def 1
    .= ((sin.x0*(cos.x0)")*(sin.x0*(cos.x0)")*sin.x0
       -tan.x1*tan.x1*sin.x1)/(x0-x1) by A1,RFUNCT_1:def 1
    .= ((sin.x0*(cos.x0)")*(sin.x0*(cos.x0)")*sin.x0
       -(sin.x1*(cos.x1)")*tan.x1*sin.x1)/(x0-x1) by A1,RFUNCT_1:def 1
    .= ((sin.x0*(cos.x0)")*(sin.x0*(cos.x0)")*sin.x0
       -(sin.x1*(cos.x1)")*(sin.x1*(cos.x1)")*sin.x1)/(x0-x1)
                                                     by A1,RFUNCT_1:def 1
    .= ((sin.x0*sin.x0*sin.x0*(cos.x0)"*(cos.x0)")
       -(sin.x1*sin.x1*sin.x1*(cos.x1)"*(cos.x1)"))/(x0-x1)
    .= (((sin.x0|^1*sin.x0)*sin.x0*(cos.x0)"*(cos.x0)")
       -(sin.x1*sin.x1*sin.x1*(cos.x1)"*(cos.x1)"))/(x0-x1)
    .= ((sin.x0|^(1+1)*sin.x0*(cos.x0)"*(cos.x0)")
       -(sin.x1*sin.x1*sin.x1*(cos.x1)"*(cos.x1)"))/(x0-x1) by NEWTON:6
    .= ((sin.x0|^(2+1)*(cos.x0)"*(cos.x0)")
       -(sin.x1*sin.x1*sin.x1*(cos.x1)"*(cos.x1)"))/(x0-x1) by NEWTON:6
    .= ((sin.x0|^3*(cos.x0)"*(cos.x0)")
       -(sin.x1|^1*sin.x1*sin.x1*(cos.x1)"*(cos.x1)"))/(x0-x1)
    .= ((sin.x0|^3*(cos.x0)"*(cos.x0)")
       -(sin.x1|^(1+1)*sin.x1*(cos.x1)"*(cos.x1)"))/(x0-x1) by NEWTON:6
    .= ((sin.x0|^3*(cos.x0)"*(cos.x0)")
       -(sin.x1|^(2+1)*(cos.x1)"*(cos.x1)"))/(x0-x1) by NEWTON:6
    .= ((sin.x0|^3*((cos.x0)"*(cos.x0)"))
       -(sin.x1|^3*(cos.x1)"*(cos.x1)"))/(x0-x1)
    .= ((sin.x0|^3*(cos.x0*cos.x0)")
       -(sin.x1|^3*((cos.x1)"*(cos.x1)")))/(x0-x1) by XCMPLX_1:204
    .= ((sin.x0)|^3/(cos.x0)^2-(sin.x1)|^3/(cos.x1)^2)/(x0-x1)
                                                         by XCMPLX_1:204
    .= ((sin(x0))|^3*(cos(x1))^2-(sin(x1))|^3*(cos(x0))^2)
       /((cos(x0))^2*(cos(x1))^2)/(x0-x1) by A2,XCMPLX_1:130
    .= ((sin(x0))|^3*(cos(x1))^2-(sin(x1))|^3*(cos(x0))^2)
       /((cos(x0))^2*(cos(x1))^2*(x0-x1)) by XCMPLX_1:78;
  hence thesis;
end;
