reserve a,b,c,d,x,y,w,z,x1,x2,x3,x4 , X for set;
reserve A for non empty set;
reserve i,j,k for Element of NAT;
reserve a,b,c,d for Real;
reserve y,r,s,x,t,w for Element of RAT+;
reserve z,z1,z2,z3,z4 for Quaternion;
 reserve x for Real;

theorem
  (z1 - z2)*' = z1*' - z2*'
proof
A1: z1*' = [*Rea z1, -Im1 z1, -Im2 z1, -Im3 z1*] by Th36;
A2: (-z2)*' = [*Rea (-z2), -Im1 (-z2), -Im2 (-z2), -Im3 (-z2)*] by Th36;
A3: (z1-z2)*' = [*Rea (z1-z2), -Im1 (z1-z2), -Im2 (z1-z2), -Im3 (z1-z2)*]
  by Th36;
A4: z1*' - z2*' = z1*' + (- z2)*' by Th48
    .= [*Rea z1+Rea (-z2), -Im1 z1+ -Im1(-z2),
  -Im2 z1+ - Im2 (-z2), -Im3 z1+ - Im3 (-z2)*] by A1,A2,Def6
    .= [*Rea z1+- Rea z2, -Im1 z1+ -Im1(-z2),
  -Im2 z1+ - Im2 (-z2), -Im3 z1+ - Im3 (-z2)*] by Th34
    .= [*Rea z1- Rea z2, -Im1 z1- - Im1 z2,
  -Im2 z1+ - Im2 (-z2), -Im3 z1+ - Im3 (-z2)*] by Th34
    .= [*Rea z1- Rea z2, -Im1 z1+ Im1 z2,
  -Im2 z1 - - Im2 z2, -Im3 z1+ - Im3 (-z2)*] by Th34
    .= [*Rea z1- Rea z2, -Im1 z1+ Im1 z2,
  -Im2 z1 + Im2 z2, -Im3 z1 - -Im3 z2*] by Th34
    .= [*Rea z1- Rea z2, -Im1 z1+ Im1 z2, -Im2 z1 + Im2 z2, -Im3 z1 +Im3 z2*];
  (z1-z2)*' = [*Rea z1-Rea z2, -Im1 (z1-z2), -Im2 (z1-z2), -Im3 (z1-z2)*]
  by A3,Th35
    .= [*Rea z1-Rea z2, -(Im1 z1- Im1 z2), -Im2 (z1-z2), -Im3 (z1-z2)*]
  by Th35
    .= [*Rea z1-Rea z2, -Im1 z1+ Im1 z2,
  -(Im2 z1- Im2 z2), -Im3 (z1-z2)*] by Th35
    .= [*Rea z1-Rea z2, -Im1 z1+ Im1 z2,
  -Im2 z1+ Im2 z2, -(Im3 z1- Im3 z2)*] by Th35;
  hence thesis by A4;
end;
