reserve a,b,c,d,x,y,w,z,x1,x2,x3,x4 , X for set;
reserve A for non empty set;
reserve i,j,k for Element of NAT;
reserve a,b,c,d for Real;
reserve y,r,s,x,t,w for Element of RAT+;
reserve z,z1,z2,z3,z4 for Quaternion;
 reserve x for Real;

theorem
  (z1*z2)*' = z1*' * z2*' implies (Im2 z1 * Im3 z2) = (Im3 z1)*(Im2 z2)
proof
  assume
A1: (z1*z2)*' = z1*' * z2*';
A2: z1*' = [*Rea z1, -Im1 z1, -Im2 z1, -Im3 z1*] by Th36;
A3: z2*' = [*Rea z2, -Im1 z2, -Im2 z2, -Im3 z2*] by Th36;
A4: (z1*z2)*' = [*Rea (z1*z2), -Im1 (z1*z2), -Im2 (z1*z2), -Im3 (z1*z2)*]
  by Th36;
A5: z1*' * z2*' = [*(Rea z1)*(Rea z2) - (- Im1 z1)*(- Im1 z2) -
  (- Im2 z1)*(- Im2 z2) - (-Im3 z1)*(-Im3 z2),
  (Rea z1)*(- Im1 z2) + (- Im1 z1)*(Rea z2) +
  (- Im2 z1)*(-Im3 z2) - (-Im3 z1)*(- Im2 z2),
  (Rea z1)*(- Im2 z2) + (Rea z2)*(- Im2 z1) +
  (- Im1 z2)*(-Im3 z1) - (-Im3 z2)*(- Im1 z1),
  (Rea z1)*(-Im3 z2) + (-Im3 z1)*(Rea z2) +
  (- Im1 z1)*(- Im2 z2) - (- Im2 z1)*(- Im1 z2) *] by A2,A3,Def9
    .= [*(Rea z1)*(Rea z2) - (Im1 z1)*(Im1 z2) -
  (Im2 z1)*(Im2 z2) - (Im3 z1)*(Im3 z2),
  -(Rea z1)*( Im1 z2) - ( Im1 z1)*(Rea z2) +
  (Im2 z1)*(Im3 z2) - (Im3 z1)*(Im2 z2),
  -(Rea z1)*(Im2 z2) - (Rea z2)*(Im2 z1) +
  (Im1 z2)*(Im3 z1) - (Im3 z2)*(Im1 z1),
  -(Rea z1)*(Im3 z2) - (Im3 z1)*(Rea z2) +
  (Im1 z1)*(Im2 z2) - (Im2 z1)*(Im1 z2) *];
A6: (z1*z2)*' =
  [*Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3 z2,
  -Im1 (z1*z2), -Im2 (z1*z2), -Im3 (z1*z2)*] by A4,Lm17
    .=[*Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3 z2,
  -(Rea z1 * Im1 z2 + Im1 z1 * Rea z2 + Im2 z1 * Im3 z2 - Im3 z1 * Im2 z2),
  -Im2 (z1*z2), -Im3 (z1*z2)*] by Lm17
    .=[*Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3 z2,
  -(Rea z1 * Im1 z2 + Im1 z1 * Rea z2 + Im2 z1 * Im3 z2 - Im3 z1 * Im2 z2),
  -(Rea z1 * Im2 z2 + Im2 z1 * Rea z2 + Im3 z1 * Im1 z2 - Im1 z1 * Im3 z2),
  -Im3 (z1*z2)*] by Lm17
    .=[*Rea z1 * Rea z2 - Im1 z1 * Im1 z2 - Im2 z1 * Im2 z2 - Im3 z1 * Im3 z2,
  -(Rea z1 * Im1 z2 + Im1 z1 * Rea z2 + Im2 z1 * Im3 z2 - Im3 z1 * Im2 z2),
  -(Rea z1 * Im2 z2 + Im2 z1 * Rea z2 + Im3 z1 * Im1 z2 - Im1 z1 * Im3 z2),
  -(Rea z1 * Im3 z2 + Im3 z1 * Rea z2 + Im1 z1 * Im2 z2 - Im2 z1 * Im1 z2)*]
  by Lm17
    .=[*Rea z1 * Rea z2 - (Im1 z1 * Im1 z2) -
  (Im2 z1 * Im2 z2) - (Im3 z1 * Im3 z2),
  -(Rea z1 * Im1 z2) - (Im1 z1 * Rea z2) -
  (Im2 z1 * Im3 z2) + (Im3 z1 * Im2 z2),
  -(Rea z1 * Im2 z2) - (Im2 z1 * Rea z2) -
  (Im3 z1 * Im1 z2) + (Im1 z1 * Im3 z2),
  -(Rea z1 * Im3 z2) - (Im3 z1 * Rea z2) -
  (Im1 z1 * Im2 z2) + (Im2 z1 * Im1 z2)*];
A7: Im1 (z1*' * z2*') = -(Rea z1)*( Im1 z2) - ( Im1 z1)*(Rea z2) +
  (Im2 z1)*(Im3 z2) - (Im3 z1)*(Im2 z2) by A5,Th16;
  Im1(z1*z2)*' = -(Rea z1 * Im1 z2) - (Im1 z1 * Rea z2) -
  (Im2 z1 * Im3 z2) + (Im3 z1 * Im2 z2) by A6,Th16;
  hence thesis by A1,A7;
end;
