reserve a,b,c,d,x,y,w,z,x1,x2,x3,x4 , X for set;
reserve A for non empty set;
reserve i,j,k for Element of NAT;
reserve a,b,c,d for Real;
reserve y,r,s,x,t,w for Element of RAT+;
reserve z,z1,z2,z3,z4 for Quaternion;
 reserve x for Real;

theorem
  z1 - z2 =
    [*Rea z1 - Rea z2, Im1 z1 - Im1 z2, Im2 z1 - Im2 z2, Im3 z1 - Im3 z2*]
proof
A1: z1 = [*Rea z1, Im1 z1, Im2 z1, Im3 z1*] by Th17;
A2: z2 = [*Rea z2, Im1 z2, Im2 z2, Im3 z2*] by Th17;
  set z9 = [*-Rea z2, -Im1 z2, -Im2 z2, -Im3 z2*];
  z2 + z9 = [*Rea z2+ -Rea z2, Im1 z2+ -Im1 z2,
  Im2 z2+ -Im2 z2, Im3 z2+ -Im3 z2*] by A2,Def6
    .= 0 by Lm6;
  then -z2 = [*-Rea z2, -Im1 z2, -Im2 z2, -Im3 z2*] by Def7;
  hence thesis by A1,Def6;
end;
