reserve a,b,c,d,e,f for Real,
        g           for positive Real,
        x,y         for Complex,
        S,T         for Element of REAL 2,
        u,v,w       for Element of TOP-REAL 3;
reserve a,b,c for Element of F_Real,
          M,N for Matrix of 3,F_Real;
reserve D        for non empty set;
reserve d1,d2,d3 for Element of D;
reserve A        for Matrix of 1,3,D;
reserve B        for Matrix of 3,1,D;
reserve u,v for non zero Element of TOP-REAL 3;

theorem
  for ra being Real for O,M being Matrix of 3,REAL
  st O = symmetric_3(1,1,-1,0,0,0) & M = ra * O holds
  (M@ * O)@ * O * (M@ * O) = ra^2 * O
  proof
    let ra be Real;
    let O,M be Matrix of 3,REAL;
    assume that
A1: O = symmetric_3(1,1,-1,0,0,0) and
A2: M = ra * O;
    reconsider O1 = O as Matrix of 3,F_Real;
A3: O@ = O by A1,PASCAL:12,MATRIX_6:def 5;
    reconsider MR = M as Matrix of 3,F_Real;
A4: MR is symmetric by Th54,A2,A1,PASCAL:12;
A5: (ra * 1_Rmatrix(3)) * O * (ra * 1_Rmatrix(3)) = (ra^2) * O
    proof
      reconsider z1 = 1,z2 = -1,z3 = 0 as Element of F_Real by XREAL_0:def 1;
A6:   O = <* <* z1,z3,z3 *>,
             <* z3,z1,z3 *>,
             <* z3,z3,z2 *> *> by A1,PASCAL:def 3;
      reconsider ea = ra as Element of F_Real by XREAL_0:def 1;
A7:   ra * 1_Rmatrix(3) = MXF2MXR (ea * (MXR2MXF 1_Rmatrix(3)))
                            by MATRIXR1:def 7
                       .= MXF2MXR (ea * (MXR2MXF MXF2MXR 1.(F_Real,3)))
                            by MATRIXR2:def 2
                       .= MXF2MXR (ea * 1.(F_Real,3)) by ANPROJ_8:16
                       .= ea * (1.(F_Real,3)) by MATRIXR1:def 2
                       .= <* <* ea * z1 ,ea * z3 ,ea * z3 *> ,
                             <* ea * z3,ea * z1,ea * z3 *>,
                             <* ea * z3, ea * z3,ea * z1 *> *>
                           by ANPROJ_9:1,Th39
                       .= <* <* ea,z3,z3 *> ,<* z3,ea,z3 *>,<* z3,z3,ea *> *>;
      then reconsider RA1R = ra * 1_Rmatrix(3) as Matrix of 3,F_Real
        by ANPROJ_8:19;
      reconsider ea2 = ra * ra as Element of F_Real by XREAL_0:def 1;
      reconsider z4 = ea * z2 as Element of F_Real;
A8:   RA1R * O1 = <* <* ea * z1 + z3 * z3 + z3 * z3,
                        ea * z3 + z3 * z1 + z3 * z3,
                        ea * z3 + z3 * z3 + z3 * z2 *>,
                     <* z3 * z1 + ea * z3 + z3 * z3,
                        z3 * z3 + ea * z1 + z3 * z3,
                        z3 * z3 + ea * z3 + z3 * z2 *>,
                     <* z3 * z1 + z3 * z3 + ea * z3,
                        z3 * z3 + z3 * z1 + ea * z3,
                        z3 * z3 + z3 * z3 + ea * z2 *> *> by A7,A6,ANPROJ_9:6
               .= <* <* ea,z3,z3 *>,
                     <* z3,ea,z3 *>,
                     <* z3,z3,z4 *> *>;
A9:   (RA1R * O1) * RA1R = <* <* ea * ea + z3 * z3 + z3 * z3,
                                   ea * z3 + z3 * ea + z3 * z3,
                                   ea * z3 + z3 * z3 + z3 * ea *>,
                                <* z3 * ea + ea * z3 + z3 * z3,
                                z3 * z3 + ea * ea + z3 * z3,
                                z3 * z3 + ea * z3 + z3 * ea *>,
                                <* z3 * ea + z3 * z3 + z4 * z3,
                                z3 * z3 + z3 * ea + z4 * z3,
                                z3 * z3 + z3 * z3 + z4 * ea *> *>
                              by A8,A7,ANPROJ_9:6
                          .= <* <* ea * ea,z3,z3 *>,
                                <* z3,ea * ea,z3 *>,
                                <* z3,z3,z4 * ea *> *>;
A10:  (ra * 1_Rmatrix(3)) * O = RA1R * O1 by ANPROJ_8:17;
      (ra^2) * O = MXF2MXR (ea2 * MXR2MXF O) by MATRIXR1:def 7
                .= ea2 * MXR2MXF O by MATRIXR1:def 2
                .= <* <* ea2 * z1,ea2 * z3,ea2 * z3 *>,
                      <* ea2 * z3,ea2 * z1,ea2 * z3 *>,
                      <* ea2 * z3,ea2 * z3,ea2 * z2 *> *>
                    by A6,Th39,MATRIXR1:def 1;
      hence thesis by A10,A9,ANPROJ_8:17;
    end;
    (M@ * O)@ * O * (M@ * O) = (M * O)@ * O * (M@ * O) by A4,MATRIX_6:def 5
                            .= (M * O)@ * O * (M * O) by A4,MATRIX_6:def 5
                            .= (O@ * M@) * O * (M * O) by MATRIXR2:30
                            .= (O * M) * O * (M * O) by A3,A4,MATRIX_6:def 5
                            .= (ra * 1_Rmatrix(3)) * O * (M * O) by A1,A2,Th55
                            .= (ra^2) * O by A1,A2,A5,Th55;
    hence thesis;
  end;
