reserve x,r,a,x0,p for Real;
reserve n,i,m for Element of NAT;
reserve Z for open Subset of REAL;
reserve f,f1,f2 for PartFunc of REAL,REAL;
reserve k for Nat;

theorem
  diff(sin^2,Z).3=(-8)(#)((cos(#)sin)|Z)
proof
  sin is_differentiable_on 3,Z by TAYLOR_2:21;
  then
  diff(sin(#)sin,Z).3 =(diff(sin,Z).(2*1+1))(#)sin + (3(#)(diff(sin,Z).(2*
1)(#)(sin`|Z)) +3(#)((sin`|Z)(#)diff(sin,Z).(2*1)))+ sin(#)(diff(sin,Z).(2*1+1)
  ) by Th64
    .=((-1) |^ 1 (#) cos | Z)(#)sin + (3(#)(diff(sin,Z).(2*1)(#)(sin`|Z)) +3
(#)((sin`|Z)(#)diff(sin,Z).(2*1)))+ sin(#)(diff(sin,Z).(2*1+1)) by TAYLOR_2:19
    .=((-1) |^ 1 (#) cos | Z)(#)sin + (3(#)(diff(sin,Z).(2*1)(#)(sin`|Z)) +3
(#)((sin`|Z)(#)diff(sin,Z).(2*1)))+ sin(#)((-1) |^ 1 (#) cos | Z) by
TAYLOR_2:19
    .=((-1) |^ 1 (#) cos | Z)(#)sin + (3(#)((-1) |^ 1 (#) sin |Z(#)(sin`|Z))
+3(#)((sin`|Z)(#)diff(sin,Z).(2*1)))+ sin(#)((-1) |^ 1 (#) cos | Z) by
TAYLOR_2:19
    .=((-1) |^ 1 (#) cos | Z)(#)sin + (3(#)((-1) |^ 1 (#) sin |Z(#)(sin`|Z))
  +3(#)((sin`|Z)(#)((-1) |^ 1 (#) sin | Z)))+ sin(#)((-1) |^ 1 (#) cos | Z) by
TAYLOR_2:19
    .=((-1)(#) cos | Z)(#)sin + (3(#)((-1) |^ 1 (#) sin |Z(#)(sin`|Z)) +3(#)
  ((sin`|Z)(#)((-1)|^1(#)sin|Z)))+sin(#)((-1)|^1(#)cos|Z)
    .=((-1)(#) cos | Z)(#)sin + (3(#)((-1)(#) sin |Z(#)(sin`|Z)) +3(#)((sin
  `|Z)(#)((-1)|^1(#)sin|Z)))+sin(#)((-1)|^1(#)cos|Z)
    .=((-1)(#) cos | Z)(#)sin + (3(#)((-1)(#) sin |Z(#)(sin`|Z)) +3(#)((sin
  `|Z)(#)((-1)(#)sin|Z)))+sin(#)((-1)|^1(#)cos|Z)
    .=((-1)(#) cos | Z)(#)sin + (3(#)((-1)(#) sin |Z(#)(sin`|Z)) +3(#)((sin
  `|Z)(#)((-1)(#) sin|Z)))+ sin(#)((-1)(#) cos | Z)
    .=((-1)(#) cos | Z)(#)sin + (3(#)((-1)(#) sin |Z(#)(cos|Z)) +3(#)((sin`|
  Z)(#)((-1)(#) sin|Z)))+ sin(#)((-1)(#)cos|Z) by TAYLOR_2:17
    .=((-1)(#) cos | Z)(#)sin + ((3(#)((-1)(#) sin |Z(#)(cos|Z)) +3(#)((cos|
  Z)(#)((-1)(#) sin|Z))))+ sin(#)((-1)(#) cos|Z) by TAYLOR_2:17
    .=((-1)(#) cos | Z)(#)sin +((3+3)(#)((cos|Z)(#)((-1)(#) sin|Z))) +sin(#)
  ((-1)(#) cos|Z) by Th5
    .=(6(#)((cos|Z)(#)((-1)(#) sin|Z))) +(((-1)(#) cos | Z)(#)sin +((-1)(#)
  cos | Z)(#)sin) by RFUNCT_1:8
    .=(6(#)((cos|Z)(#)((-1)(#) sin|Z))) +(1(#)(((-1)(#) (cos | Z))(#)sin) +(
  (-1)(#) cos | Z)(#)sin) by RFUNCT_1:21
    .=(6(#)((cos|Z)(#)((-1)(#) sin|Z))) +(1(#)(((-1)(#) (cos | Z))(#)sin) +1
  (#)(((-1)(#) cos | Z)(#)sin)) by RFUNCT_1:21
    .=(6(#)((cos|Z)(#)((-1)(#)sin|Z)))+((1+1)(#)(((-1)(#)(cos|Z))(#)sin)) by
Th5
    .=(6(#)((-1)(#)((cos|Z)(#)sin|Z)))+(2(#)(((-1)(#)(cos|Z))(#)sin)) by
RFUNCT_1:13
    .=6(#)((-1)(#)((cos(#)sin)|Z))+2(#)(((-1)(#)(cos|Z))(#)sin) by RFUNCT_1:45
    .=6(#)((-1)(#)((cos(#)sin)|Z))+2(#)((-1)(#)((cos|Z)(#)sin)) by RFUNCT_1:12
    .=6(#)((-1)(#)((cos(#)sin)|Z))+2(#)((-1)(#)((cos(#)sin)|Z)) by RFUNCT_1:45
    .=(6+2)(#)((-1)(#)((cos(#)sin)|Z)) by Th5
    .=(8*(-1))(#)((cos(#)sin)|Z) by RFUNCT_1:17
    .=(-8)(#)((cos(#)sin)|Z);
  hence thesis;
end;
