reserve x,r,a,x0,p for Real;
reserve n,i,m for Element of NAT;
reserve Z for open Subset of REAL;
reserve f,f1,f2 for PartFunc of REAL,REAL;
reserve k for Nat;

theorem
  diff(exp_R(#)sin,Z).3=(2(#)(exp_R(#)((-sin)+cos)))|Z
proof
  sin is_differentiable_on 3,Z & exp_R is_differentiable_on 3,Z by TAYLOR_2:10
,21;
  then diff(exp_R(#)sin,Z).3 =(diff(exp_R,Z).3)(#)sin + (3(#)(diff(exp_R,Z).2
  (#)(sin`|Z)) +3(#)((exp_R`|Z)(#)diff(sin,Z).2))+ exp_R(#)(diff(sin,Z).3) by
Th64
    .=(exp_R|Z)(#)sin + (3(#)(diff(exp_R,Z).2(#)(sin`|Z)) +3(#)((exp_R`|Z)
  (#)diff(sin,Z).2))+ exp_R(#)(diff(sin,Z).3) by TAYLOR_2:6
    .=(exp_R|Z)(#)sin + (3(#)(exp_R|Z(#)(sin`|Z)) +3(#)((exp_R`|Z)(#)diff(
  sin,Z).2))+exp_R(#)(diff(sin,Z).3) by TAYLOR_2:6
    .=(exp_R|Z)(#)sin + (3(#)(exp_R|Z(#)(sin`|Z)) +3(#)((exp_R|Z)(#)diff(sin
  ,Z).2))+exp_R(#)(diff(sin,Z).3) by TAYLOR_2:5
    .=(exp_R|Z)(#)sin + (3(#)(exp_R|Z(#)(cos|Z)) +3(#)((exp_R|Z)(#)diff(sin,
  Z).(2*1)))+ exp_R(#)(diff(sin,Z).(2*1+1)) by TAYLOR_2:17
    .=(exp_R|Z)(#)sin + (3(#)(exp_R|Z(#)(cos|Z)) +3(#)((exp_R|Z)(#)((-1)|^1
  (#)sin|Z)))+ exp_R(#)(diff(sin,Z).(2*1+1)) by TAYLOR_2:19
    .=(exp_R|Z)(#)sin + (3(#)(exp_R|Z(#)(cos|Z)) +3(#)((exp_R|Z)(#)((-1)|^1
  (#)sin|Z)))+ exp_R(#)((-1) |^ 1(#)cos |Z ) by TAYLOR_2:19
    .=(exp_R|Z)(#)sin + (3(#)(exp_R|Z(#)(cos|Z)) +3(#)((exp_R|Z)(#)((-1)(#)
  sin|Z)))+exp_R(#)((-1)|^1(#)cos |Z)
    .=exp_R|Z(#)sin + (3(#)(exp_R|Z(#)(cos|Z)) +3(#)((exp_R|Z)(#)((-1)(#)sin
  |Z)))+exp_R(#)((-1)(#)cos|Z)
    .=(exp_R(#)sin)|Z+(3(#)(exp_R|Z(#)(cos|Z)) +3(#)((exp_R|Z)(#)((-1)(#)sin
  |Z)))+exp_R(#)((-1)(#)cos|Z) by RFUNCT_1:45
    .=(exp_R(#)sin)|Z+(3(#)((exp_R(#)cos)|Z) +3(#)((exp_R|Z)(#)((-1)(#)sin|Z
  )))+exp_R(#)((-1)(#)cos|Z) by RFUNCT_1:45
    .=(exp_R(#)sin)|Z+(3(#)((exp_R(#)cos)|Z) +3(#)((-1)(#)((exp_R|Z)(#)sin|Z
  )))+exp_R(#)((-1)(#)cos|Z) by RFUNCT_1:13
    .=(exp_R(#)sin)|Z+(3(#)((exp_R(#)cos)|Z) +(3*(-1))(#)((exp_R|Z)(#)sin|Z)
  )+exp_R(#)((-1)(#)cos|Z) by RFUNCT_1:17
    .=(exp_R(#)sin)|Z+(3(#)((exp_R(#)cos)|Z) +(-3)(#)((exp_R(#)sin)|Z))+
  exp_R(#)((-1)(#)cos|Z) by RFUNCT_1:45
    .=(exp_R(#)sin)|Z+(3(#)((exp_R(#)cos)|Z) +(-3)(#)((exp_R(#)sin)|Z))+(-1)
  (#)(exp_R(#)cos|Z) by RFUNCT_1:13
    .=(exp_R(#)sin)|Z+(3(#)((exp_R(#)cos)|Z) +(-3)(#)((exp_R(#)sin)|Z))+(-1)
  (#)((exp_R(#)cos)|Z) by RFUNCT_1:45
    .=(exp_R(#)sin)|Z+3(#)((exp_R(#)cos)|Z) +(-3)(#)((exp_R(#)sin)|Z)+(-1)
  (#)((exp_R(#)cos)|Z) by RFUNCT_1:8
    .=3(#)((exp_R(#)cos)|Z)+1(#)((exp_R(#)sin)|Z) +(-3)(#)((exp_R(#)sin)|Z)+
  (-1)(#)((exp_R(#)cos)|Z) by RFUNCT_1:21
    .=3(#)((exp_R(#)cos)|Z)+(1(#)((exp_R(#)sin)|Z) +(-3)(#)((exp_R(#)sin)|Z)
  )+(-1)(#)((exp_R(#)cos)|Z) by RFUNCT_1:8
    .=3(#)((exp_R(#)cos)|Z)+((1+(-3))(#)((exp_R(#)sin)|Z)) +(-1)(#)((exp_R
  (#)cos)|Z) by Th5
    .=((-2)(#)((exp_R(#)sin)|Z))+(3(#)((exp_R(#)cos)|Z) +(-1)(#)((exp_R(#)
  cos)|Z)) by RFUNCT_1:8
    .=((-2)(#)((exp_R(#)sin)|Z))+((3+(-1))(#)((exp_R(#)cos)|Z)) by Th5
    .=((-2)(#)(exp_R(#)sin))|Z+2(#)((exp_R(#)cos)|Z) by RFUNCT_1:49
    .=((-2)(#)(exp_R(#)sin))|Z+(2(#)(exp_R(#)cos))|Z by RFUNCT_1:49
    .=((2*(-1))(#)(exp_R(#)sin)+2(#)(exp_R(#)cos))|Z by RFUNCT_1:44
    .=(2(#)((-1)(#)(exp_R(#)sin))+2(#)(exp_R(#)cos))|Z by RFUNCT_1:17
    .=(2(#)(((-1)(#)(exp_R(#)sin))+(exp_R(#)cos)))|Z by RFUNCT_1:16
    .=(2(#)((exp_R(#)((-1)(#)sin))+(exp_R(#)cos)))|Z by RFUNCT_1:13
    .=(2(#)(exp_R(#)((-sin)+cos)))|Z by RFUNCT_1:11;
  hence thesis;
end;
