reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;

theorem
  for a,b being Function of Y,BOOLEAN holds a '<' (a 'eqv' b)
  'eqv' (b 'eqv' a) 'eqv' a
proof
  let a,b be Function of Y,BOOLEAN;
  let z be Element of Y;
A1: ('not' a).z='not' a.z by MARGREL1:def 19;
  assume
A2: a.z=TRUE;
  then
A3: 'not' a.z=FALSE;
A4: ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)).z =(((a 'eqv' b) 'imp' (b 'eqv' a)) '&'
  ((b 'eqv' a) 'imp' (a 'eqv' b))).z by BVFUNC_4:7
    .=('not'( a 'eqv' b) 'or' (b 'eqv' a)).z '&' ('not'( b 'eqv' a) 'or' (a
  'eqv' b)).z by BVFUNC_4:8
    .=(('not'( a 'eqv' b)).z 'or' (b 'eqv' a).z) '&' (('not'( b 'eqv' a)).z
  'or' (a 'eqv' b).z) by BVFUNC_1:def 4
    .=(('not'( (a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))).z 'or' (b 'eqv' a).z) '&' ((
  'not'( b 'eqv' a)).z 'or' (a 'eqv' b).z) by BVFUNC_4:7
    .=(('not'( (a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))).z 'or' (b 'eqv' a).z) '&' ((
  'not'( b 'eqv' a)).z 'or' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)).z) by BVFUNC_4:7
    .=(('not'( (a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))).z 'or' ((b 'imp' a) '&' (a
  'imp' b)).z) '&' (('not'( b 'eqv' a)).z 'or' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)).z)
  by BVFUNC_4:7
    .=(('not'( (a 'imp' b) '&' (b 'imp' a))).z 'or' ((b 'imp' a) '&' (a
'imp' b)).z) '&' (('not'( (b 'imp' a) '&' (a 'imp' b))).z 'or' ((a 'imp' b) '&'
  (b 'imp' a)).z) by BVFUNC_4:7
    .=('not' ((a 'imp' b) '&' (b 'imp' a)).z 'or' ((b 'imp' a) '&' (a 'imp'
  b)).z) '&' ('not' ((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)).z 'or' ((a 'imp' b) '&' (b
  'imp' a)).z) by MARGREL1:def 19
    .=('not'( (a 'imp' b).z '&' (b 'imp' a).z) 'or' ((b 'imp' a) '&' (a
'imp' b)).z) '&' ('not' ((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)).z 'or' ((a 'imp' b) '&' (
  b 'imp' a)).z) by MARGREL1:def 20
    .=('not'( (a 'imp' b).z '&' (b 'imp' a).z) 'or' ((b 'imp' a).z '&' (a
'imp' b).z)) '&' ('not' ((b 'imp' a) '&' (a 'imp' b)).z 'or' ((a 'imp' b) '&' (
  b 'imp' a)).z) by MARGREL1:def 20
    .=('not'( (a 'imp' b).z '&' (b 'imp' a).z) 'or' ((b 'imp' a).z '&' (a
'imp' b).z)) '&' ('not'( (b 'imp' a).z '&' (a 'imp' b).z) 'or' ((a 'imp' b) '&'
  (b 'imp' a)).z) by MARGREL1:def 20
    .=('not'( (a 'imp' b).z '&' (b 'imp' a).z) 'or' ((b 'imp' a).z '&' (a
  'imp' b).z)) '&' ('not'( (b 'imp' a).z '&' (a 'imp' b).z) 'or' ((a 'imp' b).z
  '&' (b 'imp' a).z)) by MARGREL1:def 20
    .=('not'( ('not' a 'or' b).z '&' (b 'imp' a).z) 'or' ((b 'imp' a).z '&'
(a 'imp' b).z)) '&' ('not'( (b 'imp' a).z '&' (a 'imp' b).z) 'or' ((a 'imp' b).
  z '&' (b 'imp' a).z)) by BVFUNC_4:8
    .=('not'( ('not' a 'or' b).z '&' ('not' b 'or' a).z) 'or' ((b 'imp' a).z
'&' (a 'imp' b).z)) '&' ('not'( (b 'imp' a).z '&' (a 'imp' b).z) 'or' ((a 'imp'
  b).z '&' (b 'imp' a).z)) by BVFUNC_4:8
    .=('not'( ('not' a 'or' b).z '&' ('not' b 'or' a).z) 'or' (('not' b 'or'
a).z '&' (a 'imp' b).z)) '&' ('not'( (b 'imp' a).z '&' (a 'imp' b).z) 'or' ((a
  'imp' b).z '&' (b 'imp' a).z)) by BVFUNC_4:8
    .=('not'( ('not' a 'or' b).z '&' ('not' b 'or' a).z) 'or' (('not' b 'or'
a).z '&' ('not' a 'or' b).z)) '&' ('not'( (b 'imp' a).z '&' (a 'imp' b).z) 'or'
  ((a 'imp' b).z '&' (b 'imp' a).z)) by BVFUNC_4:8
    .=('not'( ('not' a 'or' b).z '&' ('not' b 'or' a).z) 'or' (('not' b 'or'
a).z '&' ('not' a 'or' b).z)) '&' ('not'( ('not' b 'or' a).z '&' (a 'imp' b).z)
  'or' ((a 'imp' b).z '&' (b 'imp' a).z)) by BVFUNC_4:8
    .=('not'( ('not' a 'or' b).z '&' ('not' b 'or' a).z) 'or' (('not' b 'or'
a).z '&' ('not' a 'or' b).z)) '&' ('not'( ('not' b 'or' a).z '&' ('not' a 'or'
  b).z) 'or' ((a 'imp' b).z '&' (b 'imp' a).z)) by BVFUNC_4:8
    .=('not'( ('not' a 'or' b).z '&' ('not' b 'or' a).z) 'or' (('not' b 'or'
a).z '&' ('not' a 'or' b).z)) '&' ('not'( ('not' b 'or' a).z '&' ('not' a 'or'
  b).z) 'or' (('not' a 'or' b).z '&' (b 'imp' a).z)) by BVFUNC_4:8
    .=('not'( ('not' a 'or' b).z '&' ('not' b 'or' a).z) 'or' (('not' b 'or'
a).z '&' ('not' a 'or' b).z)) '&' ('not'( ('not' b 'or' a).z '&' ('not' a 'or'
  b).z) 'or' (('not' a 'or' b).z '&' ('not' b 'or' a).z)) by BVFUNC_4:8
    .=('not'( (('not' a).z 'or' b.z) '&' (('not' b 'or' a).z)) 'or' (((
'not' b 'or' a).z) '&' (('not' a 'or' b).z))) '&' ('not'( (('not' b 'or' a).z)
'&' (('not' a 'or' b).z)) 'or' ((('not' a 'or' b).z) '&' (('not' b 'or' a).z)))
  by BVFUNC_1:def 4
    .=('not'( (('not' a).z 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' a.z)) 'or' ((
('not' b 'or' a).z) '&' (('not' a 'or' b).z))) '&' ('not'( (('not' b 'or' a).z)
'&' (('not' a 'or' b).z)) 'or' ((('not' a 'or' b).z) '&' (('not' b 'or' a).z)))
  by BVFUNC_1:def 4
    .=('not'( (('not' a).z 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' a.z)) 'or' ((
('not' b).z 'or' a.z) '&' (('not' a 'or' b).z))) '&' ('not'( (('not' b 'or' a
).z) '&' (('not' a 'or' b).z)) 'or' ((('not' a 'or' b).z) '&' (('not' b 'or' a)
  .z))) by BVFUNC_1:def 4
    .=('not'( (('not' a).z 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' a.z)) 'or' ((
  ('not' b).z 'or' a.z) '&' (('not' a).z 'or' b.z))) '&' ('not'( (('not' b
  'or' a).z) '&' (('not' a 'or' b).z)) 'or' ((('not' a 'or' b).z) '&' (('not' b
  'or' a).z))) by BVFUNC_1:def 4
    .=('not'( (('not' a).z 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' a.z)) 'or' ((
('not' b).z 'or' a.z) '&' (('not' a).z 'or' b.z))) '&' ('not'( (('not' b).z
'or' a.z) '&' (('not' a 'or' b).z)) 'or' ((('not' a 'or' b).z) '&' (('not' b
  'or' a).z))) by BVFUNC_1:def 4
    .=('not'( (('not' a).z 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' a.z)) 'or' ((
('not' b).z 'or' a.z) '&' (('not' a).z 'or' b.z))) '&' ('not'( (('not' b).z
  'or' a.z) '&' (('not' a).z 'or' b.z)) 'or' ((('not' a 'or' b).z) '&' ((
  'not' b 'or' a).z))) by BVFUNC_1:def 4
    .=('not'( (('not' a).z 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' a.z)) 'or' ((
('not' b).z 'or' a.z) '&' (('not' a).z 'or' b.z))) '&' ('not'( (('not' b).z
'or' a.z) '&' (('not' a).z 'or' b.z)) 'or' ((('not' a).z 'or' b.z) '&' ((
  'not' b 'or' a).z))) by BVFUNC_1:def 4
    .=('not'( (FALSE 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' TRUE)) 'or' ((('not'
  b).z 'or' TRUE) '&' (FALSE 'or' b.z))) '&' ('not'( (('not' b).z 'or' TRUE)
'&' (FALSE 'or' b.z)) 'or' ((FALSE 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' TRUE)))
  by A3,A1,BVFUNC_1:def 4
    .=('not'( b.z '&' (('not' b).z 'or' TRUE)) 'or' ((('not' b).z 'or'
  TRUE) '&' (FALSE 'or' b.z))) '&' ('not'( (('not' b).z 'or' TRUE) '&' (FALSE
'or' b.z)) 'or' ((FALSE 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' TRUE))) 
    .=('not'( b.z '&' (('not' b).z 'or' TRUE)) 'or' ((('not' b).z 'or'
  TRUE) '&' b.z)) '&' ('not'( (('not' b).z 'or' TRUE) '&' (FALSE 'or' b.z))
  'or' ((FALSE 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' TRUE)))
    .=('not'( b.z '&' (('not' b).z 'or' TRUE)) 'or' ((('not' b).z 'or'
  TRUE) '&' b.z)) '&' ('not'( (('not' b).z 'or' TRUE) '&' (FALSE 'or' b.z))
  'or' (b.z '&' (('not' b).z 'or' TRUE))) 
    .=('not'( b.z '&' TRUE) 'or' ((('not' b).z 'or' TRUE) '&' b.z)) '&'
('not'( (('not' b).z 'or' TRUE) '&' (FALSE 'or' b.z)) 'or' (b.z '&' (('not'
  b).z 'or' TRUE))) 
    .=('not'( b.z '&' TRUE) 'or' (TRUE '&' b.z)) '&' ('not'( (('not' b).
z 'or' TRUE) '&' (FALSE 'or' b.z)) 'or' (b.z '&' (('not' b).z 'or' TRUE)))
    .=('not'( b.z '&' TRUE) 'or' (TRUE '&' b.z)) '&' ('not'( TRUE '&' (
  FALSE 'or' b.z)) 'or' (b.z '&' (('not' b).z 'or' TRUE))) 
    .=('not'( b.z '&' TRUE) 'or' (TRUE '&' b.z)) '&' ('not'( TRUE '&' (
  FALSE 'or' b.z)) 'or' (b.z '&' TRUE)) 
    .=('not'( TRUE '&' b.z) 'or' (TRUE '&' b.z)) '&' ('not'( TRUE '&' (b
  ).z) 'or' (b.z '&' TRUE)) 
    .=('not' b.z 'or' (TRUE '&' b.z)) '&' ('not' b.z 'or' (TRUE '&' (b
  ).z)) 
    .=('not' b.z 'or' b.z) '&' ('not' b.z 'or' b.z) 
    .=TRUE by XBOOLEAN:102;
  ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a) 'eqv' a).z =((((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv'
  a)) 'imp' a) '&' (a 'imp' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)))).z by BVFUNC_4:7
    .=(((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)) 'imp' a).z '&' (a 'imp' ((a 'eqv' b)
  'eqv' (b 'eqv' a))).z by MARGREL1:def 20
    .=('not' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)).z 'or' a.z) '&' (a 'imp' ((a
  'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a))).z by BVFUNC_1:def 8
    .=('not' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)).z 'or' a.z) '&' ('not' a.z
  'or' ((a 'eqv' b) 'eqv' (b 'eqv' a)).z) by BVFUNC_1:def 8
    .=(FALSE 'or' a.z) '&' ('not' a.z 'or' TRUE) by A4
    .=a.z '&' ('not' a.z 'or' TRUE) 
    .=TRUE '&' a.z 
    .=TRUE by A2;
  hence thesis;
end;
