reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;

theorem
  for a,b being Function of Y,BOOLEAN holds a '<' (a 'imp' b) 'eqv' b
proof
  let a,b be Function of Y,BOOLEAN;
  let z be Element of Y;
  assume
    a.z=TRUE;
  then
A2: 'not' a.z=FALSE;
  ((a 'imp' b) 'eqv' b).z =(('not' a 'or' b) 'eqv' b).z by BVFUNC_4:8
    .=((('not' a 'or' b) 'imp' b) '&' (b 'imp' ('not' a 'or' b))).z by
BVFUNC_4:7
    .=(('not'( 'not' a 'or' b) 'or' b) '&' (b 'imp' ('not' a 'or' b))).z by
BVFUNC_4:8
    .=(('not'( 'not' a 'or' b) 'or' b) '&' ('not' b 'or' ('not' a 'or' b))).
  z by BVFUNC_4:8
    .=('not'( 'not' a 'or' b) 'or' b).z '&' ('not' b 'or' ('not' a 'or' b)).
  z by MARGREL1:def 20
    .=(('not'( 'not' a 'or' b)).z 'or' b.z) '&' ('not' b 'or' ('not' a
  'or' b)).z by BVFUNC_1:def 4
    .=('not' ('not' a 'or' b).z 'or' b.z) '&' ('not' b 'or' ('not' a 'or'
  b)).z by MARGREL1:def 19
    .=('not'( ('not' a).z 'or' b.z) 'or' b.z) '&' ('not' b 'or' ('not' a
  'or' b)).z by BVFUNC_1:def 4
    .=(('not' 'not' a.z '&' 'not' b.z) 'or' b.z) '&' ('not' b 'or' (
  'not' a 'or' b)).z by MARGREL1:def 19
    .=((a.z '&' 'not' b.z) 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' ('not' a
  'or' b).z) by BVFUNC_1:def 4
    .=((a.z '&' 'not' b.z) 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' (('not' a).
  z 'or' b.z)) by BVFUNC_1:def 4
    .=((a.z '&' 'not' b.z) 'or' b.z) '&' (('not' b).z 'or' ('not' a.
  z 'or' b.z)) by MARGREL1:def 19
    .=((TRUE '&' 'not' b.z) 'or' b.z) '&' ('not' b.z 'or' (FALSE 'or'
  b.z)) by A2,MARGREL1:def 19
    .=('not' b.z 'or' b.z) '&' ('not' b.z 'or' (FALSE 'or' b.z))
    .=('not' b.z 'or' b.z) '&' ('not' b.z 'or' b.z) 
    .=TRUE by XBOOLEAN:102;
  hence thesis;
end;
