reserve x,y,t for Real;

theorem
  sinh(5*x)=5*sinh(x)+20*(sinh(x))|^3+16*(sinh(x))|^5
proof
  set t = sinh.x;
  sinh(5*x) =sinh.(4*x+x) by SIN_COS2:def 2
    .=sinh.(2*(2*x))*(cosh.x)+(cosh.(4*x))*t by SIN_COS2:21
    .=2*(sinh.(2*x))*(cosh.(2*x))*(cosh.x)+(cosh.(4*x))*t by SIN_COS2:23
    .=2*(2*t*(cosh.x))*(cosh.(2*x))*(cosh.x)+(cosh.(4*x))*t by SIN_COS2:23
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(cosh.(2*x))+(cosh.(4*x))*t
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(1+2*t^2)+(cosh.(2*(2*x)))*t by Th69
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(1+2*t^2)+(1+2*(sinh.(2*x))^2)*t by Th69
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(1+2*t^2)+(1+2*(2*t* (cosh.x))^2)*t by SIN_COS2:23
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(1+2*t^2)+t+8*t^2*t*(cosh.x)^2
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(1+2*t^2)+t+8*(t|^1*t)*t*(cosh.x)^2
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(1+2*t^2)+t+8*t|^(1+1)*t*(cosh.x)^2 by NEWTON:6
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(1+2*t^2)+t+8*(t|^2*t)*(cosh.x)^2
    .=4*t*((cosh.x)^2)*(1+2*t^2)+t+8*(t|^(2+1))*(cosh.x)^2 by NEWTON:6
    .=4*t*((cosh.x)^2)*1+4*t*((cosh.x)^2)*2*t^2+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t*(1+t^2)*1+8*t*((cosh.x)^2)*t^2+t+8*t|^3*(cosh.x)^2 by Th70
    .=4*t+4*t*t*t+8*t*((cosh.x)^2)*t^2+sinh.x+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*t|^1*t*t+8*t*((cosh.x)^2)*t^2+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*(t|^1*t)*t+8*t*((cosh.x)^2)*t^2+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*t|^(1+1)*t+8*t*((cosh.x)^2)* t^2+t+8*t|^3*(cosh.x)^2 by NEWTON:6
    .=4*t+4*(t|^2*t)+8*t*((cosh.x)^2)*t^2+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*(t|^(2+1))+8*t*((cosh.x)^2)*t^2+t+8*t|^3*(cosh.x)^2 by NEWTON:6
    .=4*t+4*t|^3+8*t*t*t*((cosh.x)^2)+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^1*t*t* ((cosh.x)^2)+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*t|^3+8*(t|^1*t)*t*((cosh.x)^2)+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*t|^3+8*(t|^(1+1))*t* ((cosh.x)^2)+t+8*t|^3*(cosh.x)^2 by NEWTON:6
    .=4*t+4*t|^3+8*(t|^2*t)*((cosh.x)^2)+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*t|^3+8*(t|^(2+1))* ((cosh.x)^2)+t+8*t|^3*(cosh.x)^2 by NEWTON:6
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3*(1+t^2)+t+8*t|^3*(cosh.x)^2 by Th70
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*(t|^3*t)*t+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*(t|^(3+1))*t+t+8*t|^3*(cosh.x)^2 by NEWTON:6
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*(t|^4*t)+t+8*t|^3*(cosh.x)^2
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*(t|^(4+1))+t+8*t|^3*(cosh.x)^2 by NEWTON:6
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*t|^5+t+8*t|^3*(1+t^2) by Th70
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*t|^5+t+8*t|^3+8*(t|^3*t)*t
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*t|^5+t+8*t|^3+8*(t|^(3+1))*t by NEWTON:6
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*t|^5+t+8*t|^3+8*(t|^4*t)
    .=4*t+4*t|^3+8*t|^3+8*t|^5+t+8*t|^3+8*(t|^(4+1)) by NEWTON:6
    .=5*t+20*t|^3+(8*t|^5+8*t|^5)
    .=5*sinh(x)+20*t|^3+16*t|^5 by SIN_COS2:def 2
    .=5*sinh(x)+20*(sinh x)|^3+16*t|^5 by SIN_COS2:def 2
    .=5*sinh(x)+20*(sinh x)|^3+16*(sinh x)|^5 by SIN_COS2:def 2;
  hence thesis;
end;
