reserve z1,z2,z3,z4,z for Quaternion;

theorem
  z1/z2=[*(Rea z2*Rea z1+Im1 z1*Im1 z2+Im2 z2*Im2 z1+Im3 z2*Im3 z1)/(|.
z2.|^2), (Rea z2*Im1 z1-Im1 z2*Rea z1-Im2 z2*Im3 z1+Im3 z2*Im2 z1)/(|.z2.|^2),
(Rea z2*Im2 z1+Im1 z2*Im3 z1-Im2 z2*Rea z1-Im3 z2*Im1 z1)/(|.z2.|^2), (Rea z2*
  Im3 z1-Im1 z2*Im2 z1+Im2 z2*Im1 z1-Im3 z2*Rea z1)/(|.z2.|^2)*]
proof
 z1/z2 =[*Rea (z1/z2),Im1 (z1/z2),Im2 (z1/z2),Im3 (z1/z2)*] by QUATERNI:24
    .=[*(Rea z2*Rea z1+Im1 z1*Im1 z2+Im2 z2*Im2 z1+Im3 z2*Im3 z1)/(|.z2.|^2)
  , Im1 (z1/z2),Im2 (z1/z2),Im3 (z1/z2)*] by QUATERN2:30
    .=[*(Rea z2*Rea z1+Im1 z1*Im1 z2+Im2 z2*Im2 z1+Im3 z2*Im3 z1)/(|.z2.|^2)
, (Rea z2*Im1 z1-Im1 z2*Rea z1-Im2 z2*Im3 z1+Im3 z2*Im2 z1)/(|.z2.|^2), Im2 (z1
  /z2),Im3 (z1/z2)*] by QUATERN2:30
    .=[*(Rea z2*Rea z1+Im1 z1*Im1 z2+Im2 z2*Im2 z1+Im3 z2*Im3 z1)/(|.z2.|^2)
, (Rea z2*Im1 z1-Im1 z2*Rea z1-Im2 z2*Im3 z1+Im3 z2*Im2 z1)/(|.z2.|^2), (Rea z2
*Im2 z1+Im1 z2*Im3 z1-Im2 z2*Rea z1-Im3 z2*Im1 z1)/(|.z2.|^2), Im3 (z1/z2)*]
by QUATERN2:30
    .=[*(Rea z2*Rea z1+Im1 z1*Im1 z2+Im2 z2*Im2 z1+Im3 z2*Im3 z1)/(|.z2.|^2)
, (Rea z2*Im1 z1-Im1 z2*Rea z1-Im2 z2*Im3 z1+Im3 z2*Im2 z1)/(|.z2.|^2), (Rea z2
*Im2 z1+Im1 z2*Im3 z1-Im2 z2*Rea z1-Im3 z2*Im1 z1)/(|.z2.|^2), (Rea z2*Im3 z1-
  Im1 z2*Im2 z1+Im2 z2*Im1 z1-Im3 z2*Rea z1)/(|.z2.|^2)*] by QUATERN2:30;
  hence thesis;
end;
