reserve i,j for Element of NAT,
  x,y,z for FinSequence of COMPLEX,
  c for Element of COMPLEX,
  R,R1,R2 for Element of i-tuples_on COMPLEX;
reserve C for Function of [:COMPLEX,COMPLEX:],COMPLEX;
reserve G for Function of [:REAL,REAL:],REAL;
reserve h for Function of COMPLEX,COMPLEX,
  g for Function of REAL,REAL;

theorem Th67:
  for a being Element of COMPLEX, x,y being FinSequence of COMPLEX
  st len x=len y holds |(a*x,y)| = a*(|(x,y)|)
proof
  let a be Element of COMPLEX, x,y be FinSequence of COMPLEX;
  assume
A1: len x=len y;
A2: len (Re a * Im x) = len (Im x) & len (Im a * Re x) = len (Re x) by
RVSUM_1:117;
A3: len (Re a * Re x) = len (Re x) & len (Im a * Im x) = len (Im x) by
RVSUM_1:117;
A4: len (Re x) = len x by Th40;
A5: len (Im y) = len y by Th40;
A6: len (Re y) = len y by Th40;
A7: len (Im x) = len x by Th40;
  |(a*x,y)| = |((Re a * Re x - Im a * Im x),Re y)| - <i>*(|(Re (a*x),Im y
  )|) + <i>*(|(Im (a*x),Re y)|) + |(Im (a*x),Im y)| by Th54
    .= |((Re a * Re x - Im a * Im x),Re y)| - <i>*(|((Re a * Re x - Im a *
  Im x),Im y)|) + <i>*(|(Im (a*x),Re y)|) + |(Im (a*x),Im y)| by Th54
    .= |((Re a * Re x - Im a * Im x),Re y)| - <i>*(|((Re a * Re x - Im a *
Im x),Im y)|) + <i>*(|((Im a * Re x + Re a * Im x),Re y)|) + |(Im (a*x),Im y)|
  by Th54
    .= |((Re a * Re x - Im a * Im x),Re y)| - <i>*(|((Re a * Re x - Im a *
Im x),Im y)|) + <i>*(|((Im a * Re x + Re a * Im x),Re y)|) + (|((Im a * Re x +
  Re a * Im x),Im y)|) by Th54
    .= |(Re a * Re x,Re y)|-|(Im a * Im x,Re y)| - <i>*(|((Re a * Re x - Im
a * Im x),Im y)|) + <i>*(|((Im a * Re x + Re a * Im x),Re y)|) + (|((Im a * Re
  x + Re a * Im x),Im y)|) by A1,A4,A6,A7,A3,RVSUM_1:124
    .= |(Re a * Re x,Re y)|-|(Im a * Im x,Re y)| - <i>*((|(Re a * Re x,Im y
)|)-(|(Im a * Im x,Im y)|)) + <i>*(|((Im a * Re x + Re a * Im x),Re y)|) + (|((
  Im a * Re x + Re a * Im x),Im y)|) by A1,A4,A7,A5,A3,RVSUM_1:124
    .= |(Re a * Re x,Re y)|-|(Im a * Im x,Re y)| - <i>*((|(Re a * Re x,Im y
)|)-(|(Im a * Im x,Im y)|)) + <i>*((|(Im a * Re x,Re y)|)+(|(Re a * Im x,Re y)|
  )) + (|((Im a * Re x + Re a * Im x),Im y)|) by A1,A4,A6,A7,A2,RVSUM_1:120
    .= |(Re a * Re x,Re y)|-|(Im a * Im x,Re y)| - <i>*((|(Re a * Re x,Im y
)|)-(|(Im a * Im x,Im y)|)) + <i>*((|(Im a * Re x,Re y)|)+(|(Re a * Im x,Re y)|
)) + ((|(Im a * Re x,Im y)|)+(|(Re a * Im x,Im y)|)) by A1,A4,A7,A5,A2,
RVSUM_1:120
    .= |(Re a * Re x,Re y)|-|(Im a * Im x,Re y)| - <i>*((Re a * (|(Re x,Im y
)|))-(|(Im a * Im x,Im y)|)) + <i>*((|(Im a * Re x,Re y)|)+(|(Re a * Im x,Re y
)|)) + ((|(Im a * Re x,Im y)|)+(|(Re a * Im x,Im y)|)) by A1,A4,A5,RVSUM_1:121
    .= |(Re a * Re x,Re y)|-|(Im a * Im x,Re y)| - <i>*((Re a * (|(Re x,Im y
)|))-Im a * (|(Im x,Im y)|)) + <i>*((|(Im a * Re x,Re y)|)+(|(Re a * Im x,Re y
)|)) + ((|(Im a * Re x,Im y)|)+(|(Re a * Im x,Im y)|)) by A1,A7,A5,RVSUM_1:121
    .= Re a * (|(Re x,Re y)|)-|(Im a * Im x,Re y)| - <i>*((Re a * (|(Re x,Im
y)|))-Im a * (|(Im x,Im y)|)) + <i>*((|(Im a * Re x,Re y)|)+(|(Re a * Im x,Re y
)|)) + ((|(Im a * Re x,Im y)|)+(|(Re a * Im x,Im y)|)) by A1,A4,A6,RVSUM_1:121
    .= Re a * (|(Re x,Re y)|)-Im a * (|(Im x,Re y)|) - <i>*((Re a * (|(Re x,
Im y)|))-Im a * (|(Im x,Im y)|)) + <i>*((|(Im a * Re x,Re y)|)+(|(Re a * Im x,
Re y)|)) + ((|(Im a * Re x,Im y)|)+(|(Re a * Im x,Im y)|)) by A1,A6,A7,
RVSUM_1:121
    .= Re a * (|(Re x,Re y)|)-Im a * (|(Im x,Re y)|) - <i>*((Re a * (|(Re x,
Im y)|))-Im a * (|(Im x,Im y)|)) + <i>*(Im a * (|(Re x,Re y)|)+(|(Re a * Im x,
Re y)|)) + ((|(Im a * Re x,Im y)|)+(|(Re a * Im x,Im y)|)) by A1,A4,A6,
RVSUM_1:121
    .= Re a * (|(Re x,Re y)|)-Im a * (|(Im x,Re y)|) - <i>*((Re a * (|(Re x,
Im y)|))-Im a * (|(Im x,Im y)|)) + <i>*(Im a * (|(Re x,Re y)|)+Re a * (|(Im x,
Re y)|)) + ((|(Im a * Re x,Im y)|)+(|(Re a * Im x,Im y)|)) by A1,A6,A7,
RVSUM_1:121
    .= Re a * (|(Re x,Re y)|)-Im a * (|(Im x,Re y)|) - <i>*((Re a * (|(Re x,
Im y)|))-Im a * (|(Im x,Im y)|)) + <i>*(Im a * (|(Re x,Re y)|)+Re a * (|(Im x,
Re y)|)) + (Im a * (|(Re x,Im y)|)+(|(Re a * Im x,Im y)|)) by A1,A4,A5,
RVSUM_1:121
    .= Re a * (|(Re x,Re y)|)-Im a * (|(Im x,Re y)|) - <i>*((Re a * (|(Re x,
Im y)|))-Im a * (|(Im x,Im y)|)) + <i>*(Im a * (|(Re x,Re y)|)+Re a * (|(Im x,
Re y)|)) + (Im a * (|(Re x,Im y)|)+Re a * (|(Im x,Im y)|)) by A1,A7,A5,
RVSUM_1:121
    .= Re a*(|(Re x,Re y)|) + <i>*(Im a)*(|(Re x,Re y)|) - Re a*<i>*(|(Re x,
Im y)|) + (Im a)*(|(Re x,Im y)|) + (Re a*(<i>*(|(Im x,Re y)|)) - (Im a)*(|(Im x
  ,Re y)|)) + (Re a + <i>*(Im a))*(|(Im x,Im y)|)
    .= Re a*(|(Re x,Re y)|) + <i>*(Im a)*(|(Re x,Re y)|) - Re a*<i>*(|(Re x,
Im y)|) + (Im a)*(|(Re x,Im y)|) + (Re a + <i>*(Im a))*(<i>*(|(Im x,Re y)|)) +
  a*(|(Im x,Im y)|) by COMPLEX1:13
    .= Re a*(|(Re x,Re y)|) + <i>*(Im a)*(|(Re x,Re y)|) - (Re a + <i>*(Im a
  ))*(<i>*(|(Re x,Im y)|)) + a*(<i>*(|(Im x,Re y)|)) + a*(|(Im x,Im y)|) by
COMPLEX1:13
    .= (Re a + <i>*(Im a))*(|(Re x,Re y)|) - a*(<i>*(|(Re x,Im y)|)) + a*(
  <i>*(|(Im x,Re y)|)) + a*(|(Im x,Im y)|) by COMPLEX1:13
    .= a*(|(Re x,Re y)|) - a*(<i>*(|(Re x,Im y)|)) + a*(<i>*(|(Im x,Re y)|))
  + a*(|(Im x,Im y)|) by COMPLEX1:13
    .= a*(|(x,y)|);
  hence thesis;
end;
