reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;

theorem
  for a,b being Function of Y,BOOLEAN holds 'not' a '<' (a 'imp' b
  ) 'eqv' 'not' a
proof
  let a,b be Function of Y,BOOLEAN;
  let z be Element of Y;
  assume
A1: ('not' a).z=TRUE;
  ((a 'imp' b) 'eqv' 'not' a).z =(('not' a 'or' b) 'eqv' 'not' a).z by
BVFUNC_4:8
    .=((('not' a 'or' b) 'imp' 'not' a) '&' ('not' a 'imp' ('not' a 'or' b))
  ).z by BVFUNC_4:7
    .=(('not'('not' a 'or' b) 'or' 'not' a) '&' ('not' a 'imp' ('not' a 'or'
  b))).z by BVFUNC_4:8
    .=(('not'('not' a 'or' b) 'or' 'not' a) '&' ('not' 'not' a 'or' ('not' a
  'or' b))).z by BVFUNC_4:8
    .=('not'('not' a 'or' b) 'or' 'not' a).z '&' ('not' 'not' a 'or' ('not'
  a 'or' b)).z by MARGREL1:def 20
    .=(('not'('not' a 'or' b)).z 'or' ('not' a).z) '&' ('not' 'not' a 'or' (
  'not' a 'or' b)).z by BVFUNC_1:def 4
    .=('not' ('not' a 'or' b).z 'or' ('not' a).z) '&' ('not' 'not' a 'or' (
  'not' a 'or' b)).z by MARGREL1:def 19
    .=('not'( ('not' a).z 'or' b.z) 'or' ('not' a).z) '&' ('not' 'not' a
  'or' ('not' a 'or' b)).z by BVFUNC_1:def 4
    .=(('not' 'not' a.z '&' 'not' b.z) 'or' ('not' a).z) '&' ('not'
  'not' a 'or' ('not' a 'or' b)).z by MARGREL1:def 19
    .=((a.z '&' 'not' b.z) 'or' ('not' a).z) '&' (('not' 'not' a).z 'or'
  ('not' a 'or' b).z) by BVFUNC_1:def 4
    .=((a.z '&' 'not' b.z) 'or' ('not' a).z) '&' (a.z 'or' (('not' a).
  z 'or' b.z)) by BVFUNC_1:def 4
    .=TRUE '&' (FALSE 'or' (TRUE 'or' b.z)) by A1
    .=FALSE 'or' (TRUE 'or' b.z)
    .=(TRUE 'or' b.z) 
    .=TRUE;
  hence thesis;
end;
