reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;
reserve Y for non empty set;

theorem
  for a,b being Function of Y,BOOLEAN holds 'not' a '<' (b 'imp' a
  ) 'eqv' 'not' b
proof
  let a,b be Function of Y,BOOLEAN;
  let z be Element of Y;
  assume ('not' a).z=TRUE;
  then
A1: 'not' a.z=TRUE by MARGREL1:def 19;
  ((b 'imp' a) 'eqv' 'not' b).z =(('not' b 'or' a) 'eqv' 'not' b).z by
BVFUNC_4:8
    .=((('not' b 'or' a) 'imp' 'not' b) '&' ('not' b 'imp' ('not' b 'or' a))
  ).z by BVFUNC_4:7
    .=(('not'('not' b 'or' a) 'or' 'not' b) '&' ('not' b 'imp' ('not' b 'or'
  a))).z by BVFUNC_4:8
    .=(('not'('not' b 'or' a) 'or' 'not' b) '&' ('not' 'not' b 'or' ('not' b
  'or' a))).z by BVFUNC_4:8
    .=('not'('not' b 'or' a) 'or' 'not' b).z '&' ('not' 'not' b 'or' ('not'
  b 'or' a)).z by MARGREL1:def 20
    .=(('not'('not' b 'or' a)).z 'or' ('not' b).z) '&' ('not' 'not' b 'or' (
  'not' b 'or' a)).z by BVFUNC_1:def 4
    .=('not' ('not' b 'or' a).z 'or' ('not' b).z) '&' ('not' 'not' b 'or' (
  'not' b 'or' a)).z by MARGREL1:def 19
    .=('not'( ('not' b).z 'or' a.z) 'or' ('not' b).z) '&' ('not' 'not' b
  'or' ('not' b 'or' a)).z by BVFUNC_1:def 4
    .=(('not' 'not' b.z '&' 'not' a.z) 'or' ('not' b).z) '&' ('not'
  'not' b 'or' ('not' b 'or' a)).z by MARGREL1:def 19
    .=((b.z '&' 'not' a.z) 'or' ('not' b).z) '&' (('not' 'not' b).z 'or'
  ('not' b 'or' a).z) by BVFUNC_1:def 4
    .=((b.z '&' 'not' a.z) 'or' ('not' b).z) '&' (('not' 'not' b).z 'or'
  (('not' b).z 'or' a.z)) by BVFUNC_1:def 4
    .=((b.z '&' 'not' a.z) 'or' ('not' b).z) '&' (b.z 'or' ('not' b.
  z 'or' a.z)) by MARGREL1:def 19
    .=((TRUE '&' b.z) 'or' ('not' b).z) '&' (b.z 'or' ('not' b.z 'or'
  FALSE)) by A1
    .=(b.z 'or' ('not' b).z) '&' (b.z 'or' ('not' b.z 'or' FALSE)) 
    .=(b.z 'or' 'not' b.z) '&' (b.z 'or' ('not' b.z 'or' FALSE)) by
MARGREL1:def 19
    .=TRUE '&' (b.z 'or' ('not' b.z 'or' FALSE)) 
    .=b.z 'or' ('not' b.z 'or' FALSE)
    .=b.z 'or' 'not' b.z 'or' FALSE 
    .=TRUE 'or' FALSE by XBOOLEAN:102
    .=TRUE;
  hence thesis;
end;
