reserve z1,z2,z3,z4,z for Quaternion;

theorem
  z is Real implies z*z1 = z1*z
proof
  assume
A1: z is Real; then
A2: Im3 z = 0 by Lm1;
A3: Im1 z = 0 & Im2 z = 0 by A1,Lm1;
  z1*z = (Rea z1 * Rea z - Im1 z1 * Im1 z - Im2 z1 * Im2 z - Im3 z1 * Im3 z) +
  (Rea z1 * Im1 z + Im1 z1 * Rea z + Im2 z1 * Im3 z - Im3 z1 * Im2 z)*<i> +
  (Rea z1 * Im2 z + Im2 z1 * Rea z + Im3 z1 * Im1 z - Im1 z1 * Im3 z)*<j> +
  (Rea z1 * Im3 z + Im3 z1 * Rea z + Im1 z1 * Im2 z - Im2 z1 * Im1 z)*<k>
    by QUATERNI:93;
  hence thesis by A2,A3,QUATERNI:93;
end;
