theorem
  m1 c= m2 & m3 c= m4 implies m1 + m3 c= m2 + m4
proof
  assume
A1: m1 c= m2;
  assume
A2: m3 c= m4;
  let p;
  assume
A3: p in P;
  then
A4: m1.p <= m2.p by A1;
  m3.p <= m4.p by A2,A3;
  then
A5: m1.p + m3.p <= m2.p + m4.p by A4,XREAL_1:7;
  (m1 + m3).p = m1.p + m3.p by A3,Def4;
  hence thesis by A3,A5,Def4;
end;
