theorem Th22:
  v1 in C & v2 in C & v is_a_prefix_of v2 implies
  v1 in ProperPrefixes v or v is_a_prefix_of v1
proof
  assume that
A1: v1 in C & v2 in C and
A2: v is_a_prefix_of v2;
 v1 in ProperPrefixes v2 or v2 is_a_prefix_of v1 by A1,Th21;
then  v1 is_a_proper_prefix_of v2 or v is_a_prefix_of v1
  by A2,TREES_1:12;
then  v,v1 are_c=-comparable by A2,Th2;
then  v is_a_proper_prefix_of v1 or v = v1 or v1 is_a_proper_prefix_of v;
  hence thesis by TREES_1:12;
end;
