theorem
  z1 = x implies Rea (z1*<k>) = 0 &
  Im1 (z1*<k>) = 0 & Im2 (z1*<k>) = 0 & Im3 (z1*<k>) = x
proof
  assume
A1: z1 = x;
A2: Rea (z1 * <k>) = Rea z1 * Rea <k> - Im1 z1 * Im1 <k> - Im2 z1 * Im2 <k>
  - Im3 z1 * Im3 <k> by Lm17;
A3: Im1 (z1 * <k>) = Rea z1 * Im1 <k> + Im1 z1 * Rea <k> + Im2 z1 * Im3 <k>
  - Im3 z1 * Im2 <k> by Lm17;
A4: Im2 (z1 * <k>) = Rea z1 * Im2 <k> + Im2 z1 * Rea <k> + Im3 z1 * Im1 <k>
  - Im1 z1 * Im3 <k> by Lm17;
  Im3 (z1 * <k>) = Rea z1 * Im3 <k> + Im3 z1 * Rea <k> + Im1 z1 * Im2 <k>
  - Im2 z1 * Im1 <k> by Lm17;
  hence thesis by A1,A2,A3,A4,Lm18,Th24;
end;
