theorem
  Rea(z*z) = (Rea z)^2 - (Im1 z)^2 - (Im2 z)^2 - (Im3 z)^2 &
  Im1(z*z) = 2*(Rea z * Im1 z) & Im2(z*z) = 2*( Rea z * Im2 z) &
  Im3(z*z) = 2*(Rea z * Im3 z)
proof
  Rea (z * z) =
    Rea z * Rea z - Im1 z * Im1 z - Im2 z * Im2 z - Im3 z * Im3 z &
  Im1 (z * z) =
    Rea z * Im1 z + Im1 z * Rea z + Im2 z * Im3 z - Im3 z * Im2 z &
  Im2 (z * z) =
    Rea z * Im2 z + Im2 z * Rea z + Im3 z * Im1 z - Im1 z * Im3 z &
  Im3 (z * z) =
    Rea z * Im3 z + Im3 z * Rea z + Im1 z * Im2 z - Im2 z * Im1 z by Lm17;
  hence thesis;
end;
