%   ORIGINAL: 'h4/thm/integral/INTEGRABLE_CAUCHY_'
% Assm: HL_TRUTH: T
% Assm: HL_FALSITY: ~F
% Assm: HL_BOOL_CASES: !t. (t <=> T) \/ (t <=> F)
% Assm: HL_EXT: !f g. (!x. f x = g x) ==> f = g
% Goal: !f a b. 'h4/const/integral/integrable' ('h4/const/pair/,' a b) f <=> (!e. 'h4/const/realax/real_lt' ('h4/const/real/real_of_num' 'h4/const/num/0') e ==> (?g. 'h4/const/transc/gauge' (\x. 'h4/const/real/real_lte' a x /\ 'h4/const/real/real_lte' x b) g /\ (!d1 p1 d2 p2. 'h4/const/transc/tdiv' ('h4/const/pair/,' a b) ('h4/const/pair/,' d1 p1) /\ 'h4/const/transc/fine' g ('h4/const/pair/,' d1 p1) /\ 'h4/const/transc/tdiv' ('h4/const/pair/,' a b) ('h4/const/pair/,' d2 p2) /\ 'h4/const/transc/fine' g ('h4/const/pair/,' d2 p2) ==> 'h4/const/realax/real_lt' ('h4/const/real/abs' ('h4/const/real/real_sub' ('h4/const/transc/rsum' ('h4/const/pair/,' d1 p1) f) ('h4/const/transc/rsum' ('h4/const/pair/,' d2 p2) f))) e)))
%   PROCESSED
% Assm ['HL_TRUTH']: T
% Assm ['HL_FALSITY']: ~F
% Assm ['HL_BOOL_CASES']: !t. (t <=> T) \/ (t <=> F)
% Assm ['HL_EXT']: !f g. (!x. happ f x = happ g x) ==> f = g
% Goal: !_0. (!a b x. happ (happ (happ _0 a) b) x <=> 'h4/const/real/real_lte' a x /\ 'h4/const/real/real_lte' x b) ==> (!f a b. 'h4/const/integral/integrable' ('h4/const/pair/,' a b) f <=> (!e. 'h4/const/realax/real_lt' ('h4/const/real/real_of_num' 'h4/const/num/0') e ==> (?g. 'h4/const/transc/gauge' (happ (happ _0 a) b) g /\ (!d1 p1 d2 p2. 'h4/const/transc/tdiv' ('h4/const/pair/,' a b) ('h4/const/pair/,' d1 p1) /\ 'h4/const/transc/fine' g ('h4/const/pair/,' d1 p1) /\ 'h4/const/transc/tdiv' ('h4/const/pair/,' a b) ('h4/const/pair/,' d2 p2) /\ 'h4/const/transc/fine' g ('h4/const/pair/,' d2 p2) ==> 'h4/const/realax/real_lt' ('h4/const/real/abs' ('h4/const/real/real_sub' ('h4/const/transc/rsum' ('h4/const/pair/,' d1 p1) f) ('h4/const/transc/rsum' ('h4/const/pair/,' d2 p2) f))) e))))
fof('HL_TRUTH', axiom, p(s(bool,'T'))).
fof('HL_FALSITY', axiom, ~ (p(s(bool,'F')))).
fof('HL_BOOL_CASES', axiom, ![T]: (s(bool,T) = s(bool,'T') | s(bool,T) = s(bool,'F'))).
fof('HL_EXT', axiom, ![V_3f40709,V_3f40705]: ![F, G]: (![X]: s(V_3f40705,happ(s(fun(V_3f40709,V_3f40705),F),s(V_3f40709,X))) = s(V_3f40705,happ(s(fun(V_3f40709,V_3f40705),G),s(V_3f40709,X))) => s(fun(V_3f40709,V_3f40705),F) = s(fun(V_3f40709,V_3f40705),G))).
fof('h4/thm/integral/INTEGRABLE_CAUCHY_', conjecture, ![V__0]: (![A, B, X]: (p(s(bool,happ(s(fun('h4/type/realax/real',bool),happ(s(fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/realax/real',bool)),happ(s(fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/realax/real',bool))),V__0),s('h4/type/realax/real',A))),s('h4/type/realax/real',B))),s('h4/type/realax/real',X)))) <=> (p(s(bool,'h4/const/real/real_lte'(s('h4/type/realax/real',A),s('h4/type/realax/real',X)))) & p(s(bool,'h4/const/real/real_lte'(s('h4/type/realax/real',X),s('h4/type/realax/real',B)))))) => ![F, A, B]: (p(s(bool,'h4/const/integral/integrable'(s('h4/type/pair/prod'('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),'h4/const/pair/,'(s('h4/type/realax/real',A),s('h4/type/realax/real',B))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F)))) <=> ![E]: (p(s(bool,'h4/const/realax/real_lt'(s('h4/type/realax/real','h4/const/real/real_of_num'(s('h4/type/num/num','h4/const/num/0'))),s('h4/type/realax/real',E)))) => ?[G]: (p(s(bool,'h4/const/transc/gauge'(s(fun('h4/type/realax/real',bool),happ(s(fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/realax/real',bool)),happ(s(fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/realax/real',bool))),V__0),s('h4/type/realax/real',A))),s('h4/type/realax/real',B))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G)))) & ![D1, P1, D2, P2]: ((p(s(bool,'h4/const/transc/tdiv'(s('h4/type/pair/prod'('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),'h4/const/pair/,'(s('h4/type/realax/real',A),s('h4/type/realax/real',B))),s('h4/type/pair/prod'(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),'h4/const/pair/,'(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),D1),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),P1)))))) & (p(s(bool,'h4/const/transc/fine'(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G),s('h4/type/pair/prod'(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),'h4/const/pair/,'(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),D1),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),P1)))))) & (p(s(bool,'h4/const/transc/tdiv'(s('h4/type/pair/prod'('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),'h4/const/pair/,'(s('h4/type/realax/real',A),s('h4/type/realax/real',B))),s('h4/type/pair/prod'(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),'h4/const/pair/,'(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),D2),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),P2)))))) & p(s(bool,'h4/const/transc/fine'(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G),s('h4/type/pair/prod'(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),'h4/const/pair/,'(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),D2),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),P2))))))))) => p(s(bool,'h4/const/realax/real_lt'(s('h4/type/realax/real','h4/const/real/abs'(s('h4/type/realax/real','h4/const/real/real_sub'(s('h4/type/realax/real','h4/const/transc/rsum'(s('h4/type/pair/prod'(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),'h4/const/pair/,'(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),D1),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),P1))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F))),s('h4/type/realax/real','h4/const/transc/rsum'(s('h4/type/pair/prod'(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),'h4/const/pair/,'(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),D2),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),P2))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F))))))),s('h4/type/realax/real',E)))))))))).
