%   ORIGINAL: 'h4/thm/integral/INTEGRATION_BY_PARTS_'
% Assm: HL_TRUTH: T
% Assm: HL_FALSITY: ~F
% Assm: HL_BOOL_CASES: !t. (t <=> T) \/ (t <=> F)
% Assm: HL_EXT: !f g. (!x. f x = g x) ==> f = g
% Goal: !f g 'f\'' 'g\'' a b. 'h4/const/real/real_lte' a b /\ (!x. 'h4/const/real/real_lte' a x /\ 'h4/const/real/real_lte' x b ==> 'h4/const/lim/diffl' f ('f\'' x) x) /\ (!x. 'h4/const/real/real_lte' a x /\ 'h4/const/real/real_lte' x b ==> 'h4/const/lim/diffl' g ('g\'' x) x) ==> 'h4/const/transc/Dint' ('h4/const/pair/,' a b) (\x. 'h4/const/realax/real_add' ('h4/const/realax/real_mul' ('f\'' x) (g x)) ('h4/const/realax/real_mul' (f x) ('g\'' x))) ('h4/const/real/real_sub' ('h4/const/realax/real_mul' (f b) (g b)) ('h4/const/realax/real_mul' (f a) (g a)))
%   PROCESSED
% Assm ['HL_TRUTH']: T
% Assm ['HL_FALSITY']: ~F
% Assm ['HL_BOOL_CASES']: !t. (t <=> T) \/ (t <=> F)
% Assm ['HL_EXT']: !f g. (!x. happ f x = happ g x) ==> f = g
% Goal: !_0. (!'f\'' g f 'g\'' x. happ (happ (happ (happ (happ _0 'f\'') g) f) 'g\'') x = 'h4/const/realax/real_add' ('h4/const/realax/real_mul' (happ 'f\'' x) (happ g x)) ('h4/const/realax/real_mul' (happ f x) (happ 'g\'' x))) ==> (!f g 'f\'' 'g\'' a b. 'h4/const/real/real_lte' a b /\ (!x. 'h4/const/real/real_lte' a x /\ 'h4/const/real/real_lte' x b ==> 'h4/const/lim/diffl' f (happ 'f\'' x) x) /\ (!x. 'h4/const/real/real_lte' a x /\ 'h4/const/real/real_lte' x b ==> 'h4/const/lim/diffl' g (happ 'g\'' x) x) ==> 'h4/const/transc/Dint' ('h4/const/pair/,' a b) (happ (happ (happ (happ _0 'f\'') g) f) 'g\'') ('h4/const/real/real_sub' ('h4/const/realax/real_mul' (happ f b) (happ g b)) ('h4/const/realax/real_mul' (happ f a) (happ g a))))
fof('HL_TRUTH', axiom, p(s(bool,'T'))).
fof('HL_FALSITY', axiom, ~ (p(s(bool,'F')))).
fof('HL_BOOL_CASES', axiom, ![T]: (s(bool,T) = s(bool,'T') | s(bool,T) = s(bool,'F'))).
fof('HL_EXT', axiom, ![V_3f40106,V_3f40102]: ![F, G]: (![X]: s(V_3f40102,happ(s(fun(V_3f40106,V_3f40102),F),s(V_3f40106,X))) = s(V_3f40102,happ(s(fun(V_3f40106,V_3f40102),G),s(V_3f40106,X))) => s(fun(V_3f40106,V_3f40102),F) = s(fun(V_3f40106,V_3f40102),G))).
fof('h4/thm/integral/INTEGRATION_BY_PARTS_', conjecture, ![V__0]: (![V_27f_5c_27_27, G, F, V_27g_5c_27_27, X]: s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),happ(s(fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real')),happ(s(fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'))),happ(s(fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real')))),happ(s(fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'))))),V__0),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),V_27f_5c_27_27))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),V_27g_5c_27_27))),s('h4/type/realax/real',X))) = s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_add'(s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),V_27f_5c_27_27),s('h4/type/realax/real',X))),s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G),s('h4/type/realax/real',X))))),s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F),s('h4/type/realax/real',X))),s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),V_27g_5c_27_27),s('h4/type/realax/real',X))))))) => ![F, G, V_27f_5c_27_27, V_27g_5c_27_27, A, B]: ((p(s(bool,'h4/const/real/real_lte'(s('h4/type/realax/real',A),s('h4/type/realax/real',B)))) & (![X]: ((p(s(bool,'h4/const/real/real_lte'(s('h4/type/realax/real',A),s('h4/type/realax/real',X)))) & p(s(bool,'h4/const/real/real_lte'(s('h4/type/realax/real',X),s('h4/type/realax/real',B))))) => p(s(bool,'h4/const/lim/diffl'(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F),s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),V_27f_5c_27_27),s('h4/type/realax/real',X))),s('h4/type/realax/real',X))))) & ![X]: ((p(s(bool,'h4/const/real/real_lte'(s('h4/type/realax/real',A),s('h4/type/realax/real',X)))) & p(s(bool,'h4/const/real/real_lte'(s('h4/type/realax/real',X),s('h4/type/realax/real',B))))) => p(s(bool,'h4/const/lim/diffl'(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G),s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),V_27g_5c_27_27),s('h4/type/realax/real',X))),s('h4/type/realax/real',X))))))) => p(s(bool,'h4/const/transc/Dint'(s('h4/type/pair/prod'('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),'h4/const/pair/,'(s('h4/type/realax/real',A),s('h4/type/realax/real',B))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),happ(s(fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real')),happ(s(fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'))),happ(s(fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real')))),happ(s(fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'))))),V__0),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),V_27f_5c_27_27))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F))),s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),V_27g_5c_27_27))),s('h4/type/realax/real','h4/const/real/real_sub'(s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F),s('h4/type/realax/real',B))),s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G),s('h4/type/realax/real',B))))),s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),F),s('h4/type/realax/real',A))),s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/realax/real','h4/type/realax/real'),G),s('h4/type/realax/real',A))))))))))))).
