%   ORIGINAL: 'h4/thm/powser/DIFFS_LEMMA2_'
% Assm: HL_TRUTH: T
% Assm: HL_FALSITY: ~F
% Assm: HL_BOOL_CASES: !t. (t <=> T) \/ (t <=> F)
% Assm: HL_EXT: !f g. (!x. f x = g x) ==> f = g
% Goal: !n c x. 'h4/const/real/sum' ('h4/const/pair/,' 'h4/const/num/0' n) (\n0. 'h4/const/realax/real_mul' ('h4/const/real/real_of_num' n0) ('h4/const/realax/real_mul' (c n0) ('h4/const/real/pow' x ('h4/const/arithmetic/-' n0 ('h4/const/arithmetic/NUMERAL' ('h4/const/arithmetic/BIT1' 'h4/const/arithmetic/ZERO')))))) = 'h4/const/real/real_sub' ('h4/const/real/sum' ('h4/const/pair/,' 'h4/const/num/0' n) (\n0. 'h4/const/realax/real_mul' ('h4/const/powser/diffs' c n0) ('h4/const/real/pow' x n0))) ('h4/const/realax/real_mul' ('h4/const/real/real_of_num' n) ('h4/const/realax/real_mul' (c n) ('h4/const/real/pow' x ('h4/const/arithmetic/-' n ('h4/const/arithmetic/NUMERAL' ('h4/const/arithmetic/BIT1' 'h4/const/arithmetic/ZERO'))))))
%   PROCESSED
% Assm ['HL_TRUTH']: T
% Assm ['HL_FALSITY']: ~F
% Assm ['HL_BOOL_CASES']: !t. (t <=> T) \/ (t <=> F)
% Assm ['HL_EXT']: !f g. (!x. happ f x = happ g x) ==> f = g
% Goal: !_1. (!c x n0. happ (happ (happ _1 c) x) n0 = 'h4/const/realax/real_mul' ('h4/const/powser/diffs' c n0) ('h4/const/real/pow' x n0)) ==> (!_0. (!c x n0. happ (happ (happ _0 c) x) n0 = 'h4/const/realax/real_mul' ('h4/const/real/real_of_num' n0) ('h4/const/realax/real_mul' (happ c n0) ('h4/const/real/pow' x ('h4/const/arithmetic/-' n0 ('h4/const/arithmetic/NUMERAL' ('h4/const/arithmetic/BIT1' 'h4/const/arithmetic/ZERO')))))) ==> (!n c x. 'h4/const/real/sum' ('h4/const/pair/,' 'h4/const/num/0' n) (happ (happ _0 c) x) = 'h4/const/real/real_sub' ('h4/const/real/sum' ('h4/const/pair/,' 'h4/const/num/0' n) (happ (happ _1 c) x)) ('h4/const/realax/real_mul' ('h4/const/real/real_of_num' n) ('h4/const/realax/real_mul' (happ c n) ('h4/const/real/pow' x ('h4/const/arithmetic/-' n ('h4/const/arithmetic/NUMERAL' ('h4/const/arithmetic/BIT1' 'h4/const/arithmetic/ZERO'))))))))
fof('HL_TRUTH', axiom, p(s(bool,'T'))).
fof('HL_FALSITY', axiom, ~ (p(s(bool,'F')))).
fof('HL_BOOL_CASES', axiom, ![T]: (s(bool,T) = s(bool,'T') | s(bool,T) = s(bool,'F'))).
fof('HL_EXT', axiom, ![V_3f58886,V_3f58882]: ![F, G]: (![X]: s(V_3f58882,happ(s(fun(V_3f58886,V_3f58882),F),s(V_3f58886,X))) = s(V_3f58882,happ(s(fun(V_3f58886,V_3f58882),G),s(V_3f58886,X))) => s(fun(V_3f58886,V_3f58882),F) = s(fun(V_3f58886,V_3f58882),G))).
fof('h4/thm/powser/DIFFS_LEMMA2_', conjecture, ![V__1]: (![C, X, N0]: s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),happ(s(fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),happ(s(fun(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'))),V__1),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),C))),s('h4/type/realax/real',X))),s('h4/type/num/num',N0))) = s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real','h4/const/powser/diffs'(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),C),s('h4/type/num/num',N0))),s('h4/type/realax/real','h4/const/real/pow'(s('h4/type/realax/real',X),s('h4/type/num/num',N0))))) => ![V__0]: (![C, X, N0]: s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),happ(s(fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),happ(s(fun(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'))),V__0),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),C))),s('h4/type/realax/real',X))),s('h4/type/num/num',N0))) = s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real','h4/const/real/real_of_num'(s('h4/type/num/num',N0))),s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),C),s('h4/type/num/num',N0))),s('h4/type/realax/real','h4/const/real/pow'(s('h4/type/realax/real',X),s('h4/type/num/num','h4/const/arithmetic/-'(s('h4/type/num/num',N0),s('h4/type/num/num','h4/const/arithmetic/NUMERAL'(s('h4/type/num/num','h4/const/arithmetic/BIT1'(s('h4/type/num/num','h4/const/arithmetic/ZERO'))))))))))))) => ![N, C, X]: s('h4/type/realax/real','h4/const/real/sum'(s('h4/type/pair/prod'('h4/type/num/num','h4/type/num/num'),'h4/const/pair/,'(s('h4/type/num/num','h4/const/num/0'),s('h4/type/num/num',N))),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),happ(s(fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),happ(s(fun(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'))),V__0),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),C))),s('h4/type/realax/real',X))))) = s('h4/type/realax/real','h4/const/real/real_sub'(s('h4/type/realax/real','h4/const/real/sum'(s('h4/type/pair/prod'('h4/type/num/num','h4/type/num/num'),'h4/const/pair/,'(s('h4/type/num/num','h4/const/num/0'),s('h4/type/num/num',N))),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),happ(s(fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real')),happ(s(fun(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),fun('h4/type/realax/real',fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'))),V__1),s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),C))),s('h4/type/realax/real',X))))),s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real','h4/const/real/real_of_num'(s('h4/type/num/num',N))),s('h4/type/realax/real','h4/const/realax/real_mul'(s('h4/type/realax/real',happ(s(fun('h4/type/num/num','h4/type/realax/real'),C),s('h4/type/num/num',N))),s('h4/type/realax/real','h4/const/real/pow'(s('h4/type/realax/real',X),s('h4/type/num/num','h4/const/arithmetic/-'(s('h4/type/num/num',N),s('h4/type/num/num','h4/const/arithmetic/NUMERAL'(s('h4/type/num/num','h4/const/arithmetic/BIT1'(s('h4/type/num/num','h4/const/arithmetic/ZERO')))))))))))))))))).
